• 10.1 位相補償の方法
• 10.2 狭帯域化による補償
• 10.3 ステップ補償
• 10.4 ラグリード補償
• 10.5 微分型補償

10 位相補償

この節では，ポールが2個存在するアンプに負帰還をかけることを想定し， さまざまな位相補償の方法と，その定数の定め方を見ていきます． モデルとするアンプは，低域のゲインが A₀ = 100 で， 2つのポールのカットオフ周波数を 20kHz と 100kHz と仮定します． このアンプに帰還率 $\beta$ = 0.1 の負帰還をかけます． 低域のループゲインは T₀ = A₀$\beta$ = 100 x 0.1 = 10， 帰還量は F = 1 + T = 11 で，20.8dB です． オープンループゲイン，ループゲイン，クローズドループゲインのボーデ線図を 図111に示します． ゲイン交点周波数は，124kHz で，そのときの位相は -132^o， 位相余裕は 48^o で，帰還後の特性にピークが生じています． 帰還後の -3 dB 点は，203kHz です．

図 111: モデルアンプのボーデ線図

この節に登場するポール p₁, p₂ は，負の実数ですが， 特にグラフの中ではことわりなく絶対値をとった正の値として描いている場合があります．

SPICEでシミュレーションするには，図112のようにします． ゲイン段は，後でMiller効果を用いた補正を行うため， 10倍の反転増幅を2段重ねています． 2つのポールは，RCによるローパス回路で実現します． 最後にゲインが1のバッファにより，RC回路の影響を遮断して出力としています．

図 112: モデルアンプのシミュレーション

図 113: モデルアンプの位相特性

ループゲインは，入力を与えずに，負帰還ループを開いてそのゲインを測るべきですが， このシミュレーションの回路の形式では，入力から $\beta$ 回路の出力であるB点までのゲインと等しくなります． 負帰還をかけた後の 10kHz 方形波応答も載せてあります． ごらんのように，かなり大きなオーバーシュートが見られます． ゲイン交点周波数(図112の周波数特性のカーソルa)， 位相余裕(図113のカーソルc-d)とも， 計算で求めたとおりです．

負帰還の節で調べたように， 周波数特性でピークを生じないようにするには， Q = 0.707 とする必要があります． このとき必要なスタガ比は， $\alpha{^\prime}$ = 2T₀ = 20 です． 現在のスタガ比は $\alpha$ = p₂/p₁ = 5 です．

10.1 位相補償の方法

スタガ比を大きくするには，

1. p₁ を低くする(狭帯域化)
2. p₁ を低くし，p₂ を高くする(ラグリード補償)
3. p₂ を高くする(微分型位相補償)

の3通りの方法が考えられます．

図 114: 位相補償の方法

狭帯域化およびラグリード補償は，第一ポール p₁ を生じている箇所で行います． 微分型補償は，負帰還回路($\beta$ 回路)で行うため， 一般に p₁ とも p₂ とも干渉せずに定数を決めることができます． 狭帯域化と同様な周波数特性を得るために，p₁ 以外の箇所で補償をすることもでき，ステップ補償と呼ばれます．

10.2 狭帯域化による補償

狭帯域化では，第一ポールをさらに下げて必要なスタガ比を確保します． $\alpha{^\prime}$ = 20 とするためには，移動後の第一ポール p₁' を，

$${\frac{{p_2}}{{\alpha'}}} {\frac{{100\times 10^3}}{{20}}}$$ (336)

にする必要があります． これは元の p₁ の 1/4 ですから， 第一ポールを構成している容量 C₁ にその3倍のコンデンサを付加して， 容量の合計を C₁ の4倍にすれば目的を達することができます． したがって，補償のための容量 C_f は，

$$\Bigl( {\frac{{\alpha'}}{{\alpha}}} \Bigr) \Bigl( {\frac{{20}}{{5}}} \Bigr)$$ (337)

となります．

狭帯域化による補償を行った場合，図115のように， ゲイン交点周波数は，45.3kHz になり，そのときの位相は -108^o， 位相余裕は 72^o になります． 帰還後の -3 dB 点は，74kHz です．

図 115: 狭帯域化による位相補償のボーデ線図

補償後のシミュレーションは，図116のようになります．

図 116: 狭帯域化による位相補償のシミュレーション

図 117: 狭帯域化による位相補償の位相特性

補償後の特性にピークは見られなくなり， オーバーシュートは4.2%程度で， ほぼ2次のバタワース特性といえます．

第一のポールを生じている部分のインピーダンスが低く，補償容量が大きくなる場合は， 直後のゲイン段にコンデンサを入れれば， ミラー効果により増幅度の分大きなコンデンサの働きをしますから， 小さな容量で同等な効果を得ることができます． たとえば，直後のゲインが10倍であれば， コンデンサの容量を1/(1+10)にできます．

ミラー効果を利用した狭帯域化のシミュレーションを図118に示します．

図 118: ミラー効果を利用した狭帯域化による位相補償のシミュレーション

図 119: ミラー効果を利用した狭帯域化による位相補償の位相特性

図116の補償容量の1/11を使用していますが， 同等の効果が得られています．

実際には，この例の回路では，補償容量はR11の右端とR12の右端の間に入ります． 8.8節で見たように，こうすると p₂ は極分離によってさらに高い周波数へと移動するので，負帰還はさらに安定にかかるようになります．

10.3 ステップ補償

狭帯域化を行いたくても，第一ポールの容量を増やせない場合は， 図120の(b)のようなステップ特性を挿入することにより， 同図(c)のようにポールの位置を下げることができます．

図 120: ステップ補償

ステップ補償の回路は，図121のようなものです．

図 121: ステップ補償の回路

この回路の伝達特性は，

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{1-s/z}}{{1-s/p}}}$$ (338)

で，ポールとゼロの値は，

$${\frac{{1}}{{C (R_1 + R_2)}}}$$ p = (339)

$${\frac{{1}}{{C R_2}}}$$ z = (340)

となります． ステップ補償では，p = p₁', z = p₁ とすればよいのです． したがって，

$${\frac{{1}}{{p_1}}}$$ CR₂ = (341)

$$\Bigl( {\frac{{\alpha'}}{{\alpha}}} \Bigr)$$ R₁ = (342)

となるように定数を選定します．

ステップ補償による狭帯域化のシミュレーションを，図122に示します．

図 122: ステップ補償のシミュレーション

図 123: ステップ補償の位相特性

このモデルアンプの場合，第一ポールを構成している時定数は， 1 x 10³ Ω, 7.96 x 10^-9 F なので， この値をそのまま補償回路の R₂ と C として使いました． R₁ は，

$$\Bigl( {\frac{{\alpha'}}{{\alpha}}} \Bigr) \Bigl( {\frac{{20}}{{5}}} \Bigr)$$ (343)

となります．

今回は，バッファ VcVs14 を追加して，p₁, p₂ に影響のないようにしています． 実際には，位相補償のために周波数特性が無限にのびたバッファを入れることはありえません． 通常は，p₂ を生じている段にステップ補償を行うことになります． シミュレーションの回路の場合， 図121の R₁ が 1 kΩ と定められていますので，

R₂ = R₁/3 = 333 Ω

C = 7.96 x 10^{-9 .} 3 = 23.88 x 10^-9 F

となります． 回路上は，次のラグリード補償とまったく同じように見えますが， p₁ に対して補償回路を入れるか， p₂ に対して補償回路を入れるかによって，働きがまったく違うことに注意してください．

10.4 ラグリード補償

第一ポール p₁ がある部分の特性を，図124の左上から右上のように変更できれば，全体の特性を右下のようにすることができ， 必要なスタガ比を得ることができます． すなわち，もともとあったポール p₁ を p₁' に移動し， p₂ にゼロを作り，p₂' に新たにポールを作ります．

図 124: ラグリード補償

このような特性を得るには，図125のように， 抵抗とコンデンサを直列にしたものを，第一ポールを生じている部分に入れます．

図 125: ラグリード補償の回路

p₁ を p₁' へと低くする比率と， p₂ を p₂' へと高くする比率は等しく， これを $\gamma$ (極の分離係数)とします． つまり，

$${\frac{{p_1}}{{p_1'}}} {\frac{{p_2'}}{{p_2}}} \gamma$$ (344)

です． 補償後のスタガ比を $\alpha{^\prime}$ とすると，

$$\alpha{^\prime} {\frac{{p_2'}}{{p_1'}}} {\frac{{\gamma p_2}}{{p_1/\gamma}}} \gamma^{2}_{} {\frac{{p_2}}{{p_1}}}$$ (345)

より，

$$\gamma \sqrt{{\frac{\alpha' p_1}{p_2}}}$$ (346)

により $\gamma$ を求めることができます．

この $\gamma$ を用いて p₁ 以外の極(p₂ はゼロですが)を p₁ を使って表すと，

$$\gamma$$ p₁' = (347)

$$\alpha{^\prime} \gamma$$ p₂' = (348)

$$\alpha{^\prime} \gamma^{2}_{}$$ p₂ = (349)

となります．

この希望する周波数特性を持つ伝達関数は，

$${\frac{{1-\frac{s}{p_2}}}{{(1-\frac{s}{p_1'})(1-\frac{s}{p_2'})}}}$$ (350)

という形であり，これに式(347)$\sim$(349)を代入すると，

$${\frac{{1-\frac{s}{\alpha' p_1/\gamma^2}}}{{(1-\frac{s}{p_1/\gamma})(1-\frac{s}{\alpha' p_1/\gamma})}}}$$ A(s) =

$${\frac{{1-\frac{s}{\alpha' p_1/\gamma^2}}}{{1 - \frac{\alpha'+1}{\alpha' p_1/\gamma}s + \frac{s^2}{\alpha' p_1^2/\gamma^2}}}}$$ = (351)

となります．

一方，図125の回路の伝達関数は，

$${\frac{{1 + s C_2 R_2}}{{1 + s(C_1 R_1 + C_2 R_1 + C_2 R_2) + s^2 C_1 C_2 R_1 R_2}}}$$ (352)

ですから，式(351)と定数項(- g_mR₁)を除いて恒等となるには， s の各係数が等しくなければなりません． これより，

$${\frac{{1}}{{\alpha' p_1/\gamma^2}}} {\frac{{1}}{{p_2}}}$$ = (353)

$${\frac{{1}}{{\alpha' p_1^2/\gamma^2}}}$$ = C₁C₂R₁R₂ (354)

$${\frac{{\alpha' + 1}}{{\alpha' p_1/\gamma}}}$$ = C₁R₁ + C₂R₁ + C₂R₂ (355)

C₁R₁ は，補償前から存在していた時定数で，

$${\frac{{1}}{{p_1}}}$$ (356)

ですから，式(353)と式(354)は同じ意味です． 式(355)を整理すると，

$${\frac{{(\alpha'+1)\gamma}}{{\alpha' p_1}}} {\frac{{C_2 R_2 R_1}}{{R_2}}}$$ =

$$\Bigl( {\frac{{R_1}}{{R_2}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{p_1}}} \Bigl( {\frac{{R_1}}{{R_2}}} \Bigr) {\frac{{1}}{{\alpha' p_1/\gamma^2}}}$$ =

$$\alpha{^\prime} \gamma \alpha{^\prime} \Bigl( {\frac{{R_1}}{{R_2}}} \Bigr) \gamma^{2}_{}$$ =

$$\alpha{^\prime} \gamma \gamma \alpha{^\prime} \Bigl( {\frac{{R_1}}{{R_2}}} \Bigr) \gamma^{2}_{}$$ =

$${\frac{{\alpha'\gamma + \gamma - \alpha'}}{{\gamma^2}}} {\frac{{R_1}}{{R_2}}}$$ =

$${\frac{{\alpha'\gamma + \gamma - \alpha' - \gamma^2}}{{\gamma^2}}} {\frac{{R_1}}{{R_2}}}$$ =

$${\frac{{\gamma^2 R_1}}{{\alpha'\gamma + \gamma - \alpha' - \gamma^2}}}$$ R₂ =

$${\frac{{\gamma^2 R_1}}{{(\alpha'-\gamma)(\gamma-1)}}}$$ = (357)

となり，R₂ の値を決定できます． C₂ の値は，式(353)より，

$${\frac{{1}}{{p_2 R_2}}}$$ (358)

となります．

モデルアンプの場合の定数を求めます． 極の移動係数 $\gamma$ は，

$$\gamma \sqrt{{\frac{20 \cdot 20\times10^3}{100\times 20^3}}}$$ (359)

となります． これより，

$${\frac{{2^2 \cdot 1\times 10^3}}{{(20 - 2)(2 - 1)}}}$$ R₂ = (360)

$${\frac{{1}}{{2 \cdot 3.14 \cdot 100\times 10^3 \cdot 222}}}$$ C₂ = (361)

となります．

ラグリード補償を行った場合，図126のように， ゲイン交点周波数は，90.5kHz になり，そのときの位相は -108^o， 位相余裕は 72^o になります． 帰還後の -3 dB 点は，148kHz です．

図 126: ラグリード補償のボーデ線図

ラグリード補償による狭帯域化のシミュレーションを，図127に示します．

図 127: ラグリード補償のシミュレーション

図 128: ラグリード補償の位相特性

簡単に定数の目安をつけるには，次のようにします． p₁' は，C₁ と C₂ の並列合成値と R₁ によって概ね決まります． 今回の場合，p₁' を p₁ の半分にしたいので， C₂ としては C₁ と同じ値を使えばよいことがわかります．

p₂' は，R₂ と C₂ によって決まります． 今回の場合，これが p₂ の2倍となるように，R₂ の値を決めます．

10.5 微分型補償

微分型補償は，図129のように， 帰還抵抗 R_f に補償用のコンデンサ C_f を並列に接続し， 第二のポール p₂ をさらに高域に移動させるものです．

図 129: 微分型補償

この $\beta$ 回路の伝達特性は，

$$\beta {\frac{{R_s}}{{R_f+R_s}}} {\frac{{1-s/z_f}}{{1-s/p_f}}}$$ (362)

で，ゼロとポールの値は，

$${\frac{{1}}{{C_f R_f}}}$$ z_f = (363)

$${\frac{{1}}{{C_f (R_f // R_s)}}}$$ p_f = (364)

となります． 低域の帰還率を $\beta_{0}^{}$ = R_s/(R_f + R_s) とおけば， 式(362)は，次のように書けます．

$$\beta \beta_{0}^{} {\frac{{1-s/z_f}}{{1-s/p_f}}}$$ (365)

帰還回路の低域のゲインは $\beta_{0}^{}$ = R_s/(R_s + R_f) で， z_f からゲインが上昇し， p_f でゲインが1となり，それ以上の周波数では全帰還となります． 単に z_f を p₂ に合わせればよいように思われますが， 帰還後の特性を正確に追っていく必要があります．

$\beta$ 回路のポールとゼロの比率は，

$${\frac{{p_f}}{{z_f}}}$$ = $${\frac{{C_fR_f}}{{C_f(R_f//R_s)}}}$$ = $${\frac{{R_f(R_f+R_s)}}{{R_f R_s}}}$$ = $${\frac{{R_f+R_s}}{{R_s}}}$$ = $${\frac{{1}}{{\beta_0}}}$$

で，帰還率が小さければ p_f $\gg$ z_f となり，p_f の存在を無視することができます． その場合，$\beta$ 回路の伝達関数は次のように近似できます．

$$\beta \approx \beta_{0}^{}$$ (366)

この結果を使うと，負帰還を掛けた後の伝達関数 A_f(s) は，

$${\frac{{A_o(s)}}{{1 + A_o(s) \beta(s)}}}$$ A_f(s) =

$${\frac{{\frac{A_0}{(1-s/p_1)(1-s/p_2)}}}{{1+\frac{A_0}{(1-s/p_1)(1-s/p_2)}\beta_0(1-s/z_f)}}}$$ =

$${\frac{{A_0}}{{(1-s/p_1)(1-s/p_2)+A_0\beta_0(1-s/z_f)}}}$$ =

$${\frac{{A_0}}{{1-(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2})s+\frac{s^2}{p_1p_2}+T_0-\frac{T_0}{z_f}s}}}$$ =

$${\frac{{A_0}}{{\frac{s^2}{p_1p_2} - (\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{T_0}{z_f})s + 1 + T_0}}}$$ =

$${\frac{{A_0}}{{\frac{s^2}{p_1p_2(1+T_0)} - (\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{T_0}{z_f})\frac{s}{1+T_0} + 1}}}$$ = (367)

これは2次の伝達関数ですから，

$$\omega_{0}^{2}$$ = (1 + T₀)p₁p₂ (368)

$${\frac{{1}}{{Q\omega_0}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{p_1}}} {\frac{{1}}{{p_2}}} {\frac{{T_0}}{{z_f}}} \Bigr) {\frac{{1}}{{1+T_0}}}$$ = (369)

これより，

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1+T_0}}{{\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{T_0}{z_f}}}}$$ =

$${\frac{{(1+T_0)p_1p_2}}{{p_1+p_2+\frac{T_0p_1p_2}{z_f}}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{p_1+p_2+\frac{T_0p_1p_2}{z_f}}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0}}{{p_1+p_2+\frac{T_0p_1p_2}{z_f}}}}$$ Q =

$${\frac{{T_0p_1p_2}}{{z_f}}} {\frac{{\omega_0}}{{Q}}}$$ =

$${\frac{{T_0p_1p_2}}{{z_f}}} {\frac{{\omega_0}}{{Q}}}$$ =

$${\frac{{T_0p_1p_2}}{{\frac{\omega_0}{Q}+p_1+p_2}}}$$ z_f = (370)

こうして求めたゼロの値が負にならない場合は， すでにポールが十分に離れており，位相補償の必要はありません．

まとめると，

$$\omega_{0}^{} \sqrt{{(1 + T_0) p_1 p_2}}$$ = (371)

$${\frac{{T_0p_1p_2}}{{\frac{\omega_0}{Q}+p_1+p_2}}}$$ z_f = (372)

$${\frac{{1}}{{\vert z_f\vert R_f}}}$$ C_f = (373)

となります．

モデルアンプの場合， R_f = 9 kΩ とすれば，

$$\pi$$ p₁ =

$$\pi$$ p₂ =

$$\omega_{0}^{} \sqrt{{11 \cdot 126000 \cdot 628000}}$$ =

$${\frac{{10 \cdot 126000 \cdot 628000}}{{\frac{932000}{0.707} - (126000 + 628000)}}}$$ z_f =

$${\frac{{1}}{{1.40\times10^6 \cdot 9\times10^3}}}$$ C_f =

となります．

微分補償を行った場合，図130のように， ゲイン交点周波数は，137kHz になり，そのときの位相は -107^o， 位相余裕は 73^o になります．

図 130: 微分補償のボーデ線図

$\beta$ 回路の周波数特性は，図のオレンジ色の線のように z_f から上昇し， 最終的にはゲインが1となります． $\beta$ 回路の位相は， 10 kHz あたりから進みはじめ， 700 kHz あたりで進みが最大となり， 再び0に戻っていきます． この位相の進みにより，ループゲインの位相の遅れが 100kHz から 800kHz あたりでほぼ一定となり，位相余裕が確保されます． 帰還後の -3 dB 点は，155kHz です．

微分補償による狭帯域化のシミュレーションを，図131に示します．

図 131: 微分補償のシミュレーション

図 132: 微分補償の位相特性

これまでの位相補償の結果をまとめると， 次の表のようになります．

方法	ゲイン交点周波数	位相余裕	帰還後カットオフ周波数
補償なし	124kHz	48o	203kHz
狭帯域化	45.3kHz	72o	74kHz
ラグリード補償	90.5kHz	72o	148kHz
微分型補償	137kHz	73o	155kHz

この表だけを見ると微分型補償がもっともよいように思われますが， 一般に容量性の負荷に対する安定性が低いので， さまざまな負荷を与えた場合の安定性を十分に検討する必要があります．