• A..1 三角関数
  • A..1.0.1 三角比と三角関数
  • A..1.0.2 微積分
  • A..1.0.3 加法定理
  • A..1.0.4 オイラーの公式
  
  
• A..2 双曲線関数
• A..3 ラプラス変換
  • A..3.1 1次低域通過伝達関数
    • A..3.1.1 インパルスレスポンス
    • A..3.1.2 インディシャルレスポンス
  • A..3.2 2次低域通過伝達関数
    • A..3.2.1 D > 0 すなわち Q < 1/2 の場合
      • A..3.2.1.1 インパルスレスポンス
      • A..3.2.1.2 インディシャルレスポンス
    • A..3.2.2 D = 0 すなわち Q = 1/2 の場合
      • A..3.2.2.1 インパルスレスポンス
      • A..3.2.2.2 インディシャルレスポンス
    • A..3.2.3 D < 0 すなわち Q > 1/2 の場合
      • A..3.2.3.1 インパルスレスポンス
      • A..3.2.3.2 インディシャルレスポンス

A. 公式

A..1 三角関数

A..1.0.1 三角比と三角関数

図 140: 三角比

$$\theta {\frac{{b}}{{r}}}$$ = (377)

$$\theta {\frac{{a}}{{r}}}$$ = (378)

$$\theta {\frac{{b}}{{a}}} {\frac{{\sin \theta}}{{\cos \theta}}}$$ = (379)

$$\theta {\frac{{b}}{{r}}} {\frac{{a}}{{r}}} {\frac{{b}}{{a}}}$$ (380)

$$\theta \theta {\frac{{b^2}}{{r^2}}} {\frac{{a^2}}{{r^2}}} {\frac{{a^2+b^2}}{{r^2}}}$$ (381)

A..1.0.2 微積分

$${\frac{{d \sin x}}{{dx}}}$$ = cos x (382)

$${\frac{{d \cos x}}{{dx}}}$$ = -sin x (383)

$$\int$$ = -cos x (384)

$$\int$$ = sin x (385)

A..1.0.3 加法定理

$$\pm \pm$$ = (386)

$$\pm \mp$$ = (387)

$$\pm {\frac{{\tan a \pm \tan b}}{{1 \mp \tan a \tan b}}}$$ = (388)

A..1.0.4 オイラーの公式

e^jx = cos x + j sin x (389)

$${\frac{{e^{jx} + e^{-jx}}}{{2}}}$$ cos x = (390)

$${\frac{{e^{jx} - e^{-jx}}}{{2j}}}$$ sin x = (391)

A..2 双曲線関数

$${\frac{{e^x-e^{-x}}}{{2}}}$$ sinh x = (392)

$${\frac{{e^x+e^{-x}}}{{2}}}$$ cosh x = (393)

$${\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}}$$ tanh x = (394)

A..3 ラプラス変換

関数 f (x) のラプラス変換 F(s) は，次の式で定義される．

$$\int_{0}^{{\infty}}$$ (395)

入力信号をラプラス変換したものと伝達関数とを掛け合わせたものを ラプラス逆変換すると，出力信号が得られます．

F(s)	f (t)
1	impulse
${\frac{{1}}{{s}}}$	1 (unit step)
${\frac{{1}}{{s+a}}}$	e-at
${\frac{{1}}{{s^2}}}$	t
${\frac{{1}}{{s(s+a)}}}$	${\frac{{1}}{{a}}}$(1 - e-at)
${\frac{{1}}{{(s+a)(s+b)}}}$	${\frac{{1}}{{b-a}}}$(e-at - e-bt)
${\frac{{s}}{{(s+a)(s+b)}}}$	${\frac{{1}}{{a-b}}}$(ae-at - be-bt)
${\frac{{1}}{{(s+a)^2}}}$	te-at
${\frac{{s}}{{(s+a)^2}}}$	te-at(1 - at)
${\frac{{1}}{{s^2-a^2}}}$	${\frac{{1}}{{a}}}$sinh(at)
${\frac{{s}}{{s^2-a^2}}}$	cosh(at)
${\frac{{1}}{{s^2+a^2}}}$	${\frac{{1}}{{a}}}$sin(at)
${\frac{{s}}{{s^2+a^2}}}$	cos(at)
${\frac{{1}}{{(s+b)^2+a^2}}}$	${\frac{{1}}{{a}}}$e-btsin(at)
${\frac{{s}}{{(s+b)^2+a^2}}}$	e-bt$\bigl($cos(at) - ${\frac{{b}}{{a}}}$sin(at)$\bigr)$
${\frac{{1}}{{s(s+a)^2}}}$	${\frac{{1}}{{a^2}}}$(1 - e-at - ate-at)
${\frac{{1}}{{s(s+a)(s+b)}}}$	${\frac{{1}}{{ab(a-b)}}}$[(a - b) + be-at - ae-bt]
${\frac{{1}}{{s[(s+b)^2+a^2]}}}$	${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}}$$\bigl[$1 - e-bt$\bigl($cos at + ${\frac{{b}}{{a}}}$sin at$\bigr)$$\bigr]$

$${\frac{{1}}{{s(s+a)}}}$$ F(s) =

$${\frac{{1/a}}{{s}}} {\frac{{1/a}}{{s+a}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{a}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s}}} {\frac{{1}}{{s+a}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{a}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{(s+a)(s+b)}}}$$ F(s) =

$${\frac{{\frac{1}{-a+b}}}{{s+a}}} {\frac{{\frac{1}{a-b}}}{{s+b}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{b-a}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s+a}}} {\frac{{1}}{{s+b}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{b-a}}}$$ f (t) =

$${\frac{{s}}{{(s+a)(s+b)}}}$$ F(s) =

$${\frac{{\frac{-a}{-a+b}}}{{s+a}}} {\frac{{\frac{-b}{a-b}}}{{s+b}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{a-b}}} \Bigl( {\frac{{a}}{{s+a}}} {\frac{{b}}{{s+b}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{a-b}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{s^2-a^2}}}$$ F(s) =

$${\frac{{1}}{{(s-a)(s+a)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{2a}}}{{s-a}}} {\frac{{\frac{1}{-2a}}}{{s+a}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2a}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s-a}}} {\frac{{1}}{{s+a}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{2a}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{a}}}$$ =

$${\frac{{s}}{{s^2-a^2}}}$$ F(s) =

$${\frac{{s}}{{(s-a)(s+a)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{a}{2a}}}{{s-a}}} {\frac{{\frac{-a}{-2a}}}{{s+a}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s-a}}} {\frac{{1}}{{s+a}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ f (t) =

= cosh at

$${\frac{{1}}{{s^2+a^2}}}$$ F(s) =

$${\frac{{1}}{{(s-ja)(s+ja)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{2ja}}}{{s-ja}}} {\frac{{\frac{1}{-2ja}}}{{s+ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2ja}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s-ja}}} {\frac{{1}}{{s+ja}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{2ja}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{a}}}$$ =

$${\frac{{s}}{{s^2+a^2}}}$$ F(s) =

$${\frac{{s}}{{(s-ja)(s+ja)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{ja}{2ja}}}{{s-ja}}} {\frac{{\frac{-ja}{-2ja}}}{{s+ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s-ja}}} {\frac{{1}}{{s+ja}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ f (t) =

= cos at

$${\frac{{1}}{{(s+b)^2+a^2}}}$$ F(s) =

$${\frac{{1}}{{(s+b-ja)(s+b+ja)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{-b+ja+b+ja}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{1}{-b-ja+b-ja}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{2ja}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{1}{-2ja}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2ja}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s+b-ja}}} {\frac{{1}}{{s+b+ja}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{2ja}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{2ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{a}}}$$ =

$${\frac{{s}}{{(s+b)^2+a^2}}}$$ F(s) =

$${\frac{{s}}{{(s+b-ja)(s+b+ja)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{-b+ja}{-b+ja+b+ja}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{-b-ja}{-b-ja+b-ja}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{\frac{-b+ja}{2ja}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{-b-ja}{-2ja}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s+b-ja}}} {\frac{{1}}{{s+b+ja}}} \Bigr) {\frac{{b}}{{2ja}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s+b-ja}}} {\frac{{1}}{{s+b+ja}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{b}}{{2ja}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{b}}{{2ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{b}}{{2ja}}}$$ =

$${\frac{{b}}{{a}}}$$ =

$$\Bigl( {\frac{{b}}{{a}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{s(s+a)(s+b)}}}$$ F(s) =

$${\frac{{\frac{1}{ab}}}{{s}}} {\frac{{\frac{1}{-a(-a+b)}}}{{s+a}}} {\frac{{\frac{1}{-b(-b+a)}}}{{s+b}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{ab}}}{{s}}} {\frac{{\frac{1}{a(a-b)}}}{{s+a}}} {\frac{{\frac{1}{b(b-a)}}}{{s+b}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{ab(a-b)}}} \Bigl( {\frac{{a-b}}{{s}}} {\frac{{b}}{{s+a}}} {\frac{{a}}{{s+b}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{ab(a-b)}}}$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{s[(s+b)^2+a^2]}}}$$ F(s) =

$${\frac{{1}}{{s(s+b-ja)(s+b+ja)}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{(b-ja)(b+ja)}}}{{s}}} {\frac{{\frac{1}{-b+ja(-b+ja+b+ja)}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{1}{-b-ja(-b-ja+b-ja)}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{b^2+a^2}}}{{s}}} {\frac{{\frac{1}{2ja(ja-b)}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{1}{2ja(ja+b)}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{b^2+a^2}}}{{s}}} {\frac{{\frac{ja+b}{2ja(a^2+b^2)}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{ja-b}{2ja(a^2+b^2)}}}{{s+b+ja}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s}}} {\frac{{\frac{ja+b}{2ja}}}{{s+b-ja}}} {\frac{{\frac{ja-b}{2ja}}}{{s+b+ja}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}} \Bigl[ {\frac{{1}}{{s}}} {\frac{{1}}{{2}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s+b-ja}}} {\frac{{1}}{{s+b+ja}}} \Bigr) {\frac{{b}}{{2ja}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{s+b-ja}}} {\frac{{1}}{{s+b+ja}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}} \Bigl[ {\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{b}}{{2ja}}} \Bigr]$$ f (t) =

$${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}} \Bigl[ {\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{b}}{{2ja}}} \Bigr]$$ =

$${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}} \Bigl( {\frac{{b}}{{a}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{a^2+b^2}}} \Bigl[ \Bigl( {\frac{{b}}{{a}}} \Bigr) \Bigl]$$ =

A..3.1 1次低域通過伝達関数

$${\frac{{\frac{1}{sC}}}{{R + \frac{1}{sC}}}} {\frac{{1}}{{sCR + 1}}} {\frac{{\frac{1}{CR}}}{{s+\frac{1}{CR}}}} {\frac{{\omega_0}}{{s+\omega_0}}}$$ (396)

A..3.1.1 インパルスレスポンス

V₂(s) = F(s)V₁(s)

= F(s)

$${\frac{{\omega_0}}{{s+\omega_0}}}$$ =

$$\omega_{0}^{} \omega_{0}$$ v₂(t) =

A..3.1.2 インディシャルレスポンス

V₂(s) = F(s)V₁(s)

$${\frac{{1}}{{s}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0}}{{s(s+\omega_0)}}}$$ =

$$\omega_{0}$$ v₂(t) =

A..3.2 2次低域通過伝達関数

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s^2 + \frac{\omega_0}{Q}s + \omega_0^2}}}$$ (397)

D = ${\frac{{\omega_0^2}}{{Q^2}}}$ -4$\omega_{0}^{2}$ = $\omega_{0}^{2}$(1/Q² - 4) とする．

A..3.2.1 D > 0 すなわち Q < 1/2 の場合

$${\frac{{\omega_0}}{{2Q}}} \pm {\frac{{\omega_0}}{{2}}} \sqrt{{\frac{1}{Q^2}-4}}$$ p =

$$\alpha \pm \beta$$ =

$$\alpha {\frac{{\omega_0}}{{Q}}}$$ p₁ + p₂ =

$$\beta \omega_{0}^{} \sqrt{{\frac{1}{Q^2}-4}}$$ p₁ - p₂ =

A..3.2.1.1 インパルスレスポンス

V₂(s) = F(s)

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s^2 + \frac{\omega_0}{Q}s + \omega_0^2}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{(s-p_1)(s-p_2)}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{p_1 - p_2}}}$$ v₂(t) =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{2\beta}}} \alpha \beta \alpha \beta$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{2\beta}}} \alpha \beta \beta$$ =

$${\frac{{2\omega_0}}{{\sqrt{\frac{1}{Q^2}-4}}}} \alpha \beta$$ =

A..3.2.1.2 インディシャルレスポンス

$${\frac{{F(s)}}{{s}}}$$ V₂(s) =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s(s^2 + \frac{\omega_0}{Q}s + \omega_0^2)}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s(s-p_1)(s-p_2)}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{p_1 p_2 (p_2-p_1)}}}$$ v₂(t) =

$${\frac{{1}}{{p_2-p_1}}} \alpha \beta \alpha \beta$$ =

$${\frac{{1}}{{p_2-p_1}}} \alpha \beta \beta$$ =

$${\frac{{1}}{{2\beta}}} \alpha \alpha \beta \beta \alpha \beta \beta$$ =

$${\frac{{1}}{{2\beta}}} \alpha \alpha \beta \beta \beta \beta \beta$$ =

$${\frac{{1}}{{\beta}}} \alpha \alpha \beta \beta \beta$$ =

A..3.2.2 D = 0 すなわち Q = 1/2 の場合

A..3.2.2.1 インパルスレスポンス

V₂(s) = F(s)

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s^2 + 2\omega_0 s + \omega_0^2}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{(s + \omega_0)^2}}}$$ =

$$\omega_{0}^{2} \omega_{0}$$ v₂(s) =

A..3.2.2.2 インディシャルレスポンス

$${\frac{{F(s)}}{{s}}}$$ V₂(s) =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s(s^2 + 2\omega_0 {Q}s + \omega_0^2)}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s(s+\omega_0)^2}}}$$ =

$$\omega_{0} \omega_{0}^{} \omega_{0}$$ v₂(t) =

$$\omega_{0} \omega_{0}^{}$$ =

A..3.2.3 D < 0 すなわち Q > 1/2 の場合

$${\frac{{\omega_0}}{{2Q}}}$$ b =

$${\frac{{\omega_0}}{{2}}} \sqrt{{4 - \frac{1}{Q^2}}}$$ a =

とおけば，

F(s) = $${\frac{{\omega_0^2}}{{(s+b)^2+a^2}}}$$

A..3.2.3.1 インパルスレスポンス

V₂(s) = F(s)

$${\frac{{\omega_0^2}}{{(s+b)^2+a^2}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{a}}}$$ v₂(t) =

$${\frac{{2\omega_0}}{{\sqrt{4-\frac{1}{Q^2}}}}} {\frac{{\omega_0}}{{2Q}}} {\frac{{\omega_0}}{{2}}} \sqrt{{4 - \frac{1}{Q^2}}}$$ =

A..3.2.3.2 インディシャルレスポンス

$${\frac{{F(s)}}{{s}}}$$ V₂(s) =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{s[(s+b)^2+a^2]}}}$$ =

$${\frac{{\omega_0^2}}{{a^2+b^2}}} {\frac{{b}}{{a}}}$$ v₂(t) =

$${\frac{{\omega_0}}{{a}}} {\frac{{\omega_0}}{{2Q}}} {\frac{{a}}{{b}}}$$ =