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2 アッテネータ

2.1 T型定インピーダンスアッテネータ

T型定インピーダンスアッテネータの回路を, 図2に示します.
図 2: T型定インピーダンスアッテネータ
\begin{figure}\input{figs/Tatt}
\end{figure}
信号源抵抗および負荷抵抗を R とします.

A点より右側を見たインピーダンスを Z とすると,

Z = R1 + (R1 + R)//R2 = R1 + $\displaystyle {\frac{{R R_2 + R_1 R_2}}{{R + R_1 + R_2}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{R R_1 + R R_2 + R_1^2 + 2 R_1 R_2}}{{R + R_1 + R_2}}}$  

これが R と等しくなるための条件は,
R = $\displaystyle {\frac{{R R_1 + R R_2 + R_1^2 + 2 R_1 R_2}}{{R + R_1 + R_2}}}$  
R2 + RR1 + RR2 = RR1 + RR2 + R12 +2R1R2  
R2 = R12 +2R1R2 (18)
R2 = $\displaystyle {\frac{{R^2 - R_1^2}}{{2 R_1}}}$ (19)

この状態の時,A点の電圧は,入力電圧の半分となります. これは,規定の負荷(= R)を接続しても生じる減衰なので, アッテネータの減衰としてはこれを除いて考え、 A点の電圧 Ea に対して出力電圧 Eo がどうなるかを考えます. すなわち,アッテネータの減衰率を K ($ \ge$1)とすると,

Ea = KEo (20)
という関係で表されます.

2より,

Eo = $\displaystyle {\frac{{R}}{{R + R_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{(R + R_1) // R_2}}{{R_1 + (R + R_1) // R_2}}}$Ea  
  = $\displaystyle {\frac{{R}}{{R + R_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{\frac{(R + R_1) R_2}{R + R_1 + R_2}}}{{R_1 + \frac{(R + R_1) R_2}{R + R_1 + R_2}}}}$Ea  
  = $\displaystyle {\frac{{R}}{{R + R_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{(R + R_1) R_2}}{{R R_1 + R_1^2 + R_1 R_2 + R R_2 + R_1 R_2}}}$Ea  
  = $\displaystyle {\frac{{R R_2}}{{R R_1 + R R_2 + R_1^2 + 2 R_1 R_2}}}$Ea  

式(18)を使うと,

Eo = $\displaystyle {\frac{{R R_2}}{{R R_1 + R R_2 + R^2}}}$Ea = $\displaystyle {\frac{{R_2}}{{R + R_1 + R_2}}}$Ea

したがって,

K = $\displaystyle {\frac{{R + R_1 + R_2}}{{R_2}}}$

式(19)を代入して,
K = $\displaystyle {\frac{{R + R_1 + \frac{R^2 - R_1^2}{2 R_1}}}{{\frac{R^2 - R_1^2}{2 R_1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2 R_1 (R + R_1) + R^2 - R_1^2}}{{R^2 - R_1^2}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{R^2 + 2 R R_1 + R_1^2}}{{R^2 - R_1^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(R + R_1)^2}}{{(R + R_1)(R - R_1)}}}$ = $\displaystyle {\frac{{R + R_1}}{{R - R_1}}}$  
KR - KR1 = R + R1  
(K + 1)R1 = (K - 1)R  
R1 = $\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$R (21)

これを式(19)に代入して,
R2 = $\displaystyle {\frac{{R^2 - \frac{(K - 1)^2}{(K + 1)^2} R^2}}{{2 \frac{K - 1}{K + 1} R}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(K + 1)^2 R^2 - (K - 1)^2 R^2}}{{2 (K^2 - 1) R}}}$ = $\displaystyle {\frac{{4 K}}{{2 (K^2 - 1)}}}$R  
  = $\displaystyle {\frac{{2 K}}{{K^2 - 1}}}$R (22)

2.2 橋絡T型定インピーダンスアッテネータ

ロータリーSWを使用して定インピーダンス型のアッテネータを構成すると, T型では減衰量毎に3個の抵抗を使用しなければなりません. 抵抗の数を減らすには, 図3 (a)の橋絡T型の回路を使います. この回路では,R1, R2 の抵抗を切り替えるだけで, 任意の減衰量を得ることができます.
図 3: 橋絡T型定インピーダンスアッテネータ
\begin{figure}\input{figs/BTatt}
\end{figure}

R1 の部分を$ \Delta$-Y変換すると, 図3 (b)の回路となります. この値について, 式(21), (22)の関係が成立すればよいので,

$\displaystyle {\frac{{R R_1}}{{2 R + R_1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$R (23)
$\displaystyle {\frac{{R^2}}{{2 R + R_1}}}$ + R2 = $\displaystyle {\frac{{2 K}}{{K^2 - 1}}}$R (24)

という関係が得られます. 式(23)より,
$\displaystyle {\frac{{R_1}}{{2 R + R_1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$  
(K + 1)R1 = 2(K - 1)R + (K - 1)R1  
2R1 = 2(K - 1)R  
R1 = (K - 1)R (25)

が得られ,これを式(24)に代入して R2 について解くと,
$\displaystyle {\frac{{R^2}}{{2 R + (K - 1) R}}}$ + R2 = $\displaystyle {\frac{{2 K}}{{K^2 - 1}}}$R  
$\displaystyle {\frac{{R}}{{K + 1}}}$ + R2 = $\displaystyle {\frac{{2 K}}{{K^2 - 1}}}$R  
R2 = $\displaystyle {\frac{{2 K R}}{{(K + 1)(K - 1)}}}$ - $\displaystyle {\frac{{R}}{{K + 1}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2 K - K + 1}}{{(K + 1)(K - 1)}}}$R  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{K - 1}}}$R (26)

2.3 $ \pi$ 型定インピーダンスアッテネータ

$ \pi$ 型定インピーダンスアッテネータの回路を, 図4に示します.
図 4: $ \pi$ 型定インピーダンスアッテネータ
\begin{figure}\input{figs/piatt}
\end{figure}

A点より右側を見たインピーダンスを Z とすると,

Z = R2//(R1 + R2//R) = R2//$\displaystyle \Bigl($R1 + $\displaystyle {\frac{{R R_2}}{{R + R_2}}}$$\displaystyle \Bigr)$  
  = $\displaystyle {\frac{{R_2 \bigl(R_1 + \frac{R R_2}{R + R_2}\bigr)}}{{R_1 + R_2 + \frac{R R_2}{R + R_2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{R_2(R R_1 + R R_2 + R_1 R_2)}}{{R R_1 + 2 R R_2 + R_1 R_2 + R_2^2}}}$  

これが R と等しくなるための条件は,
R = $\displaystyle {\frac{{R_2(R R_1 + R R_2 + R_1 R_2)}}{{R R_1 + 2 R R_2 + R_1 R_2 + R_2^2}}}$  
R2R1 +2R2R2 + RR1R2 + RR22 = RR1R2 + RR22 + R1R22  
R2R1 +2R2R2 = R1R22  
(R22 - R2)R1 = 2R2R2  
R1 = $\displaystyle {\frac{{2 R^2 R_2}}{{R_2^2 - R^2}}}$ (27)

4より,

$\displaystyle {\frac{{1}}{{K}}}$ = $\displaystyle {\frac{{R // R_2}}{{R_1 + R // R_2}}}$  
K = $\displaystyle {\frac{{R_1 + R // R_2}}{{R // R_2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{R_1}}{{R//R_2}}}$ +1 = $\displaystyle {\frac{{R + R_2}}{{R R_2}}}$R1 + 1  

式(27)を代入して,
K = $\displaystyle {\frac{{R + R_2}}{{R R_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{{2 R^2 R_2}}{{R_2^2 - R^2}}}$ +1 = $\displaystyle {\frac{{R + R_2}}{{R R_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{{2 R^2 R_2}}{{(R_2 + R)(R_2 - R)}}}$ + 1  
  = $\displaystyle {\frac{{2 R}}{{R_2 - R}}}$ +1 = $\displaystyle {\frac{{2 R + R_2 - R}}{{R_2 - R}}}$ = $\displaystyle {\frac{{R_2 + R}}{{R_2 - R}}}$  
KR2 - KR = R2 + R  
(K - 1)R2 = (K + 1)R  
R2 = $\displaystyle {\frac{{K + 1}}{{K - 1}}}$R (28)

これを式(27)に代入して,
R1 = $\displaystyle {\frac{{2 R^2 \frac{K + 1}{K - 1} R}}{{\frac{(K + 1)^2}{(K - 1)^2} R^2 - R^2}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2 \frac{K + 1}{K - 1}}}{{\frac{(K + 1)^2}{(K - 1)^2} - 1}}}$R  
  = $\displaystyle {\frac{{2 (K^2 - 1)}}{{(K + 1)^2 - (K - 1)^2}}}$R = $\displaystyle {\frac{{2 (K^2 - 1)}}{{4 K}}}$R  
  = $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2 K}}}$R (29)

もちろん,T型をY-$ \Delta$変換しても同じ結果が得られます.

1に,各種アッテネータの抵抗の係数を示します. 抵抗値は,アッテネータのインピーダンス R にこの表の係数を掛けた値になります。

表 1: 各種アッテネータの係数表
減衰率 減衰率 T型 橋絡T型 $ \pi$
(dB) K R1 R2 R1 R2 R1 R2
0.1 1.0116 0.0057564 86.857 0.011579 86.360 0.011513 173.72
0.2 1.0233 0.011512 43.426 0.023293 42.931 0.023028 86.863
0.3 1.0351 0.017268 28.947 0.035142 28.456 0.034546 57.912
0.4 1.0471 0.023022 21.707 0.047129 21.219 0.046068 43.437
0.5 1.0593 0.028774 17.362 0.059254 16.877 0.057596 34.753
0.6 1.0715 0.034525 14.465 0.071519 13.982 0.069133 28.964
0.7 1.0839 0.040273 12.395 0.083927 11.915 0.080678 24.830
0.8 1.0965 0.046019 10.842 0.096478 10.365 0.092234 21.730
0.9 1.1092 0.051762 9.6337 0.10917 9.1596 0.10380 19.319
1 1.1220 0.057501 8.6667 0.12202 8.1955 0.11538 17.391
2 1.2589 0.11462 4.3048 0.25893 3.8621 0.23230 8.7242
3 1.4125 0.17100 2.8385 0.41254 2.4240 0.35230 5.8480
4 1.5849 0.22627 2.0966 0.58489 1.7097 0.47697 4.4194
5 1.7783 0.28013 1.6448 0.77828 1.2849 0.60797 3.5698
6 1.9953 0.33228 1.3386 0.99526 1.0048 0.74704 3.0095
7 2.2387 0.38247 1.1160 1.2387 0.80728 0.89602 2.6146
8 2.5119 0.43051 0.94617 1.5119 0.66143 1.0569 2.3229
9 2.8184 0.47622 0.81183 1.8184 0.54994 1.2318 2.0999
10 3.1623 0.51949 0.70273 2.1623 0.46248 1.4230 1.9250
11 3.5481 0.56026 0.61231 2.5481 0.39244 1.6331 1.7849
12 3.9811 0.59848 0.53621 2.9811 0.33545 1.8649 1.6709
13 4.4668 0.63416 0.47137 3.4668 0.28845 2.1215 1.5769
14 5.0119 0.66732 0.41560 4.0119 0.24926 2.4062 1.4985
15 5.6234 0.69804 0.36727 4.6234 0.21629 2.7228 1.4326
16 6.3096 0.72639 0.32515 5.3096 0.18834 3.0755 1.3767
17 7.0795 0.75246 0.28826 6.0795 0.16449 3.4691 1.3290
18 7.9433 0.77637 0.25584 6.9433 0.14402 3.9087 1.2880
19 8.9125 0.79823 0.22726 7.9125 0.12638 4.4002 1.2528
20 10.000 0.81818 0.20202 9.0000 0.11111 4.9500 1.2222
22 12.589 0.85282 0.15987 11.589 0.086287 6.2549 1.1726
24 15.849 0.88130 0.12670 14.849 0.067345 7.8929 1.1347
26 19.953 0.90455 0.10049 18.953 0.052763 9.9513 1.1055
28 25.119 0.92343 0.079748 24.119 0.041461 12.540 1.0829
30 31.623 0.93869 0.063309 30.623 0.032655 15.796 1.0653
32 39.811 0.95099 0.050269 38.811 0.025766 19.893 1.0515
34 50.119 0.96088 0.039921 49.119 0.020359 25.049 1.0407
36 63.096 0.96880 0.031706 62.096 0.016104 31.540 1.0322
38 79.433 0.97513 0.025182 78.433 0.012750 39.710 1.0255
40 100.00 0.98020 0.020002 99.000 0.010101 49.995 1.0202
42 125.89 0.98424 0.015888 124.89 0.0080069 62.942 1.0160
44 158.49 0.98746 0.012620 157.49 0.0063496 79.242 1.0127
46 199.53 0.99003 0.010024 198.53 0.0050371 99.761 1.0101
48 251.19 0.99207 0.0079623 250.19 0.0039970 125.59 1.0080
50 316.23 0.99370 0.0063246 315.23 0.0031723 158.11 1.0063
52 398.11 0.99499 0.0050238 397.11 0.0025182 199.05 1.0050
54 501.19 0.99602 0.0039905 500.19 0.0019993 250.59 1.0040
56 630.96 0.99684 0.0031698 629.96 0.0015874 315.48 1.0032
58 794.33 0.99749 0.0025179 793.33 0.0012605 397.16 1.0025
60 1000.0 0.99800 0.0020000 999.00 0.0010010 500.00 1.0020


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Ayumi Nakabayashi
平成19年7月1日