• 3.1 定インピーダンスRIAAイコライザへの応用

3 定インピーダンスフィルタ

定インピーダンスアッテネータの入出力間に L を， 共通端子とグラウンドの間に C を入れると， ローパスフィルタになります(図5)．

図 5: 定インピーダンスLPF

L と R₁ の部分を$\Delta$-Y変換すると， 変換後の Z₁ および Z₂ は，

$${\frac{{s L R_1}}{{s L + 2 R_1}}}$$ Z₁ =

$${\frac{{\omega^2 L^2 R_1 + 2j\omega L R_1^2}}{{\omega^2 L^2 + 4 R_1^2}}}$$ =

$${\frac{{R_1^2}}{{s L + 2 R_1}}} {\frac{{1}}{{s C}}}$$ Z₂ =

$${\frac{{R_1(R_1 + 2 R_2) + s L R_2 + 2 R_1/s C + L/C}}{{s L + 2 R_1}}}$$ =

$${\frac{{2 R_1^2(R_1 + 2 R_2) + \omega^2 L^2 R_2 - j\{\omega L R_1^2 + (4 R_1^2 + \omega^2 L^2) / \omega C\}}}{{\omega^2 L^2 + 4 R_1^2}}}$$ =

A点から右を見たインピーダンス Z が R で一定となる条件は， 式(18)より，

R² = Z₁(Z₁ +2Z₂)

$${\frac{{\omega^2 L^2 R_1(R_1 + 2 R_2) + 4 L R_1^2 / C}}{{\omega^2 L^2 + 4 R_1^2}}} {\frac{{2\omega L R_1 \{ R_1(R_1 + 2 R_2) - L / C\}}}{{\omega^2 L^2 + 4 R_1^2}}}$$ = (30)

この式は，以下の条件のときに，すべての周波数について成り立ちます．

$${\frac{{L}}{{C}}}$$ (31)

このときの伝達関数 A は，

$${\frac{{R^2 + s L R_2 + 2 R_1/s C + R^2}}{{2 R_1 + s L}}}$$ Z₂ =

$${\frac{{Z_2}}{{R + Z_1 + Z_2}}}$$ A =

$${\frac{{s L R_2 + 2 R^2 + 2 R_1/s C}}{{s L R + 2 R R_1 + s L R_1 + s L R_2 + 2 R^2 + 2 R_1/s C}}}$$ =

$${\frac{{s L R_2 + 2 R^2 + 2 R_1/s C}}{{s L (R + R_1 + R_2) + 2 R (R + R_1) + 2 R_1/s C}}}$$ =

$${\frac{{s^2 L C R_2 + 2 s C R^2 + 2 R_1}}{{s^2 L C (R + R_1 + R_2) + 2 s C R (R + R_1) + 2 R_1}}}$$ =

L = CR² より，

$${\frac{{\frac{1}{2} s^2 C^2 R^2 R_2 + s C R^2 + R_1}}{{\frac{1}{2} s^2 C^2 R^2 (R + R_1 + R_2) + s C R (R + R_1) + R_1}}}$$ A =

$${\frac{{\frac{1}{2} s^2 C^2 R^2 R_2/R_1 + s C R^2/R_1 + 1}}{{\frac{1}{2} s^2 C^2 R^2 (1 + R / R_1 + R_2 / R_1) + s C R (1 + R / R_1) + 1}}}$$ =

アッテネータの場合と同様に、

$${\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$$ R₁ = (32)

$${\frac{{2 K}}{{K^2 - 1}}}$$ R₂ = (33)

とすれば，

$${\frac{{\frac{1}{2} s^2 C^2 R^2 \frac{2K}{K^2 - 1}\frac{K + 1}{K ... ... 1}\frac{K + 1}{K - 1}\bigr) + s C R \bigl(1 + \frac{K + 1}{K - 1}\bigr) + 1}}}$$ A =

$${\frac{{s^2 C^2 R^2 \frac{K}{(K - 1)^2} + s C R \frac{K + 1}{K - 1} + 1}}{{s^2 C^2 R^2 \frac{K^2}{(K - 1)^2} + s C R \frac{2K}{K - 1} + 1}}} {\frac{{\bigl(s \frac{K}{K - 1} C R + 1\bigr)\bigl(s \frac{1}{K - 1} C R + 1\bigr)}}{{\bigl(s \frac{K}{K - 1} C R + 1\bigr)^2}}}$$ =

$${\frac{{s \frac{1}{K - 1} C R + 1}}{{s \frac{K}{K - 1} C R + 1}}}$$ = (34)

となり，ゲインは T₁ = KCR/(K - 1) より下がり始め， T₂ = CR/(K - 1) で 1/K になり，それ以降は平坦になります．

K$\to$$\infty$ のときは，

$${\frac{{1}}{{s C R + 1}}}$$ (35)

となり，ゲインは T = CR より下がり始めます。

3.1 定インピーダンスRIAAイコライザへの応用

RIAAイコライザの時定数は，

T₁ = 3180 μs (36)

T₂ = 318 μs (37)

T₃ = 75 μs (38)

です．

T₁, T₂ は10倍離れているので，K = 10 であり， R = 600 Ω とすれば，

$${\frac{{K - 1}}{{K + 1}}} {\frac{{9}}{{11}}}$$ R₁ =

$${\frac{{2 K}}{{K^2 - 1}}} {\frac{{20}}{{99}}}$$ R₂ =

$${\frac{{K}}{{K - 1}}}$$ T₁ =

$${\frac{{T_1}}{{\frac{K}{K - 1} R}}} {\frac{{3180 \times 10^{-6}}}{{\frac{10}{9} \cdot 600}}}$$ C =

$${\frac{{T_1}}{{\frac{K}{K - 1}}}} {\frac{{3180 \times 10^{-6}}}{{\frac{10}{9}}}}$$ L =

高域のロールオフは， K = $\infty$ として，

R₁ = R = 600 [Ω]

R₂ = 0 [Ω]

T₃ = CR

$${\frac{{T_3}}{{R}}} {\frac{{75 \times 10^{-6}}}{{600}}}$$ C =

L = T₃R = 75 x 10^{-6 .} 600 = 45 [mH]

最終的な回路は，図6のようになります。

図 6: 定インピーダンスRIAAイコライザ