A. サレン・キー型フィルタの特性

一般的なサレン・キー型フィルタの回路を，図13に示します．

図 13: サレン・キー型フィルタの回路

それぞれの電流と電圧の関係を式で表すと，

$${\frac{{v_i - v_x}}{{Z_1}}}$$ i₁ = (3)

$${\frac{{v_o - v_x}}{{Z_2}}}$$ i₂ = (4)

$${\frac{{v_x}}{{Z_3 + Z_4}}}$$ i₃ = (5)

$${\frac{{v_o}}{{K Z_4}}}$$ i₃ = (6)

i₃ = i₁ + i₂ (7)

式(5), (6)より，i₃ を消去して v_x について解くと，

$${\frac{{Z_3 + Z_4}}{{K Z_4}}}$$ (8)

これを式(3), (4)に代入して，

$${\frac{{v_i - \frac{Z_3 + Z_4}{K Z_4} v_o}}{{Z_1}}} {\frac{{K Z_4 v_i - (Z_3 + Z_4) v_o}}{{K Z_1 Z_4}}}$$ i₁ = (9)

$${\frac{{v_o - \frac{Z_3 + Z_4}{K Z_4} v_o}}{{Z_2}}} {\frac{{Z_3 + (1 - K) Z_4}}{{K Z_2 Z_4}}}$$ i₂ = (10)

これらを式(7)に代入して，v_o について解く．

$${\frac{{v_o}}{{Z_4}}} {\frac{{K Z_4 v_i - (Z_3 + Z_4) v_o}}{{K Z_1 Z_4}}} {\frac{{Z_3 + (1 - K) Z_4}}{{K Z_2 Z_4}}}$$ =

Z₁Z₂v_o = KZ₂Z₄v_i - Z₂(Z₃ + Z₄)v_o - Z₁{Z₃ + (1 - K)Z₄}v_o

{Z₁Z₂ + Z₂(Z₃ + Z₄) + Z₁Z₃ + (1 - K)Z₁Z₄}v_o = KZ₂Z₄v_i

$${\frac{{K Z_2 Z_4}}{{Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 + (1 - K) Z_1 Z_4 }}}$$ v_o =

$${\frac{{K}}{{\frac{Z_1 Z_3}{Z_2 Z_4} + \frac{Z_1 + Z_3}{Z_4} + (1 - K) \frac{Z_1}{Z_2} + 1}}}$$ = (11)

A..1 LPF

Z₁ = R₁

$${\frac{{1}}{{s C_1}}}$$ Z₂ =

Z₃ = R₂

$${\frac{{1}}{{s C_2}}}$$ Z₄ =

とおくと，式(11)より，

$${\frac{{K}}{{s^2 C_1 C_2 R_1 R_2 + s C_2 (R_1 + R_2) + s (1 - K) C_1 R_1 + 1}}}$$ T(s) =

$${\frac{{K \frac{1}{C_1 C_2 R_1 R_2}}}{{s^2 + s (\frac{R_1 + R_2}{C_1 R_1 R_2} + \frac{1 - K}{C_2 R_2}) + \frac{1}{C_1 C_2 R_1 R_2}}}}$$ = (12)

$$\omega_{0}^{} \pi {\frac{{1}}{{\sqrt{C_1 C_2 R_1 R_2}}}}$$ = (13)

$${\frac{{\omega_0}}{{\frac{R_1 + R_2}{C_1 R_1 R_2} + \frac{1 - K}{C_2 R_2}}}} {\frac{{\sqrt{C_1 C_2 R_1 R_2}}}{{C_1 C_2 R_1 R_2}}} {\frac{{1}}{{\frac{R_1 + R_2}{C_1 R_1 R_2} + \frac{1 - K}{C_2 R_2}}}}$$ Q =

$${\frac{{\sqrt{C_1 C_2 R_1 R_2}}}{{C_2 (R_1 + R_2) + (1 - K) C_1 R_1}}}$$ = (14)

A..2 HPF

$${\frac{{1}}{{s C_1}}}$$ Z₁ =

Z₂ = R₁

$${\frac{{1}}{{s C_2}}}$$ Z₃ =

Z₄ = R₂

とおくと，式(11)より，

$${\frac{{K}}{{\frac{1}{s^2 C_1 C_2 R_1 R_2} + \frac{\frac{1}{s C_1} + \frac{1}{s C_2}}{R_2} + (1 - K) \frac{1}{s C_1 R_1} + 1}}}$$ T(s) =

$${\frac{{K}}{{\frac{1}{s^2 C_1 C_2 R_1 R_2} + \frac{C_1 + C_2}{s C_1 C_2 R_2} + (1 - K) \frac{1}{s C_1 R_1} + 1}}}$$ =

$${\frac{{K s^2}}{{s^2 + s (\frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2 R_2} + \frac{1 - K}{C_1 R_1}) + \frac{1}{C_1 C_2 R_1 R_2}}}}$$ = (15)

$$\omega_{0}^{} \pi {\frac{{1}}{{\sqrt{C_1 C_2 R_1 R_2}}}}$$ = (16)

$${\frac{{\omega_0}}{{\frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2 R_2} + \frac{1 - K}{C_1 R_1}}}} {\frac{{\sqrt{C_1 C_2 R_1 R_2}}}{{C_1 C_2 R_1 R_2}}} {\frac{{1}}{{\frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2 R_2} + \frac{1 - K}{C_1 R_1}}}}$$ Q =

$${\frac{{\sqrt{C_1 C_2 R_1 R_2}}}{{(C_1 + C_2) R_1 + (1 - K) C_2 R_2}}}$$ = (17)