• 1.1 Y-$\Delta$変換
• 1.2 $\Delta$-Y変換

1 Y-$\Delta$変換

橋絡T型アッテネータやフィルタの解析に必要となるので， まず，Y-$\Delta$変換の式を導きます．

1.1 Y-$\Delta$変換

図 1: Y接続と$\Delta$接続

図1 (a)より，

$${\frac{{E_1 - E_x}}{{R_1}}}$$ I₁ = (1)

$${\frac{{E_2 - E_x}}{{R_2}}}$$ I₂ = (2)

$${\frac{{E_3 - E_x}}{{R_3}}}$$ I₃ = (3)

I₁ + I₂ + I₃ = 0 (4)

まず，E_x を求めます。 式(1), (2), (3)を 式(4)に代入して，E_x について解きます．

$${\frac{{E_1 - E_x}}{{R_1}}} {\frac{{E_2 - E_x}}{{R_2}}} {\frac{{E_3 - E_x}}{{R_3}}}$$ = 0

$${\frac{{E_1}}{{R_1}}} {\frac{{E_2}}{{R_2}}} {\frac{{E_3}}{{R_3}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{R_1}}} {\frac{{1}}{{R_2}}} {\frac{{1}}{{R_3}}} \Bigr)$$ =

R₂R₃E₁ + R₃R₁E₂ + R₁R₂E₃ = (R₂R₃ + R₃R₁ + R₁R₂)E_x

$${\frac{{R_2 R_3 E_1 + R_3 R_1 E_2 + R_1 R_2 E_3}}{{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}}}$$ E_x =

これを式(1)に代入して，

$${\frac{{1}}{{R_1}}}$$ I₁ =

$${\frac{{1}}{{R_1}}} \Bigl( {\frac{{R_2 R_3 E_1 + R_3 R_1 E_2 + R_1 R_2 E_3}}{{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}}} \Bigr)$$ =

$${\frac{{1}}{{R_1}}} {\frac{{R_2 R_3 (E_1 - E_1) + R_3 R_1 (E_1 - E_2) + R_1 R_2 (E_1 - E_3)}}{{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{R_1}}} {\frac{{R_3 R_1 (E_1 - E_2) + R_1 R_2 (E_1 - E_3)}}{{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}}}$$ =

$${\frac{{R_3 (E_1 - E_2) + R_2 (E_1 - E_3)}}{{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}}}$$ =

一方，図1 (b)より，

$${\frac{{E_1 - E_2}}{{R_{12}}}} {\frac{{E_1 - E_3}}{{R_{31}}}}$$ I₁ = (5)

$${\frac{{E_2 - E_3}}{{R_{23}}}} {\frac{{E_2 - E_1}}{{R_{12}}}}$$ I₂ = (6)

$${\frac{{E_3 - E_1}}{{R_{31}}}} {\frac{{E_3 - E_2}}{{R_{23}}}}$$ I₃ = (7)

であるから，

$${\frac{{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}}{{R_3}}} {\frac{{R_1 R_2}}{{R_3}}}$$ R₁₂ = (8)

$${\frac{{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}}{{R_1}}} {\frac{{R_2 R_3}}{{R_1}}}$$ R₂₃ = (9)

$${\frac{{R_3 R_1 + R_1 R_2 + R_2 R_3}}{{R_2}}} {\frac{{R_3 R_1}}{{R_2}}}$$ R₃₁ = (10)

となります．

1.2 $\Delta$-Y変換

式(8), (9), (10)より，

$$\equiv$$ (11)

これより，

$${\frac{{R_x}}{{R_{23}}}}$$ R₁ = (12)

$${\frac{{R_x}}{{R_{31}}}}$$ R₂ = (13)

$${\frac{{R_x}}{{R_{12}}}}$$ R₃ = (14)

これらを用いて， 式(11)の右側を書き直して，R_x について解きます．

$${\frac{{R_x^2}}{{R_{23} R_{31}}}} {\frac{{R_x^2}}{{R_{31} R_{12}}}} {\frac{{R_x^2}}{{R_{12} R_{23}}}}$$ R_x =

$${\frac{{(R_{12} + R_{23} + R_{31}) R_x}}{{R_{12} R_{23} R_{31}}}}$$ 1 =

$${\frac{{R_{12} R_{23} R_{31}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}}$$ R_x =

これを， 式(12), (13), (14)に代入すると，

$${\frac{{R_{12} R_{23} R_{31}}}{{R_{23}(R_{12} + R_{23} + R_{31})}}} {\frac{{R_{12} R_{31}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}}$$ R₁ = (15)

$${\frac{{R_{23} R_{12}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}}$$ R₂ = (16)

$${\frac{{R_{31} R_{23}}}{{R_{12} + R_{23} + R_{31}}}}$$ R₃ = (17)