1 多重帰還型LPFの特性

図 1: 多重帰還型LPFの回路

図1の回路の多重帰還型LPFの伝達特性と $\omega_{0}^{}$, Q の値は，

$${\frac{{R_2/R_1}}{{s^2 C_3 C_5 R_2 R_4 + s C_5(\frac{R_2 R_4}{R_1} + R_2 + R_4) + 1}}}$$ T(s) = (1)

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{\sqrt{C_3 C_5 R_2 R_4}}}}$$ = (2)

$${\frac{{\sqrt{C_3 C_5 R_2 R_4}}}{{C_5(\frac{R_2 R_4}{R_1} + R_2 + R_4)}}}$$ Q = (3)

となります． 通過域のゲインを K = R₂/R₁ とおけば，

$${\frac{{K}}{{s^2 C_3 C_5 R_2 R_4 + s C_5(\frac{R_2 R_4}{R_1} + R_2 + R_4) + 1}}}$$ T(s) =

$${\frac{{\sqrt{C_3 C_5 R_2 R_4}}}{{C_5[R_2 + (1 + K) R_4]}}}$$ Q =

となります．

ここで， コンデンサおよび抵抗の比について，

R₂ = m_rR

$${\frac{{R}}{{m_r}}}$$ R₄ =

C₃ = m_cC

$${\frac{{C}}{{m_c}}}$$ C₅ =

とおくと，

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{C R}}}$$ = (4)

$${\frac{{C R}}{{\frac{C}{m_c}[m_r R + (1 + K) \frac{R}{m_r}]}}}$$ Q =

$${\frac{{m_c}}{{m_r + \frac{1 + K}{m_r}}}}$$ = (5)

となります．

さまざまな K の値について， m_r を変えながら Q の値を描くと， 図2のようになります．

図 2: m_r に対する Q の値．(m_c = 3 の場合)

図2は，m_c = 3 の場合ですが， Q は m_c に比例するので， 異なった m_c の値に関するグラフは， 図2の形状をそのまま上下にずらしたものになります．

常識的な R₁ = R₂ = R₄ の場合， すなわち m_r = 1 における値よりも大きな Q が得られる m_r が 存在することがわかります．

この最大の Q となる m_r を利用すれば， 一定の Q に対して m_c の値を小さく済ませることができます． 指定された Q に対して m_c が最小となるのは， 式(5)を m_c について解いた式の， m_r に関する導関数値が 0 となる m_r のときです．

$${\frac{{1}}{{m_r}}}$$ m_c =

$${\frac{{d m_c}}{{d m_r}}}$$ = Q[1 - (1 + K)m_r^-2] = 0

$$\sqrt{{1 + K}}$$ m_r =

したがって，

$$\sqrt{{1 + K}} {\frac{{1 + K}}{{\sqrt{1 + K}}}}$$ min m_c = (6)

$$\sqrt{{1 + K}}$$ = (7)

これ以上の m_c が確保されていれば， m_r を調整することによって， Q の値を目的の値に下げることができます． m_r の値は，式(5)より，

$${\frac{{1 + K}}{{m_r}}} {\frac{{m_c}}{{Q}}}$$ =

$${\frac{{m_c}}{{Q}}}$$ = 0

$${\frac{{\frac{m_c}{Q} \pm \sqrt{\frac{m_c^2}{Q^2} - 4 (1 + K)}}}{{2}}}$$ m_r =

ここで，図2より， m_r は2つの解を持ちますが， Q の極大値が必ず m_r$\ge$1 にあるので， 小さい方の解のほうが m_r = 1 に近くなります． 抵抗の比は小さいほうが良いので，こちらの解を選びます．