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1 多重帰還型LPFの特性

図 1: 多重帰還型LPFの回路
\begin{figure}\input{mf_sch}
\end{figure}
1の回路の多重帰還型LPFの伝達特性と $ \omega_{0}^{}$, Q の値は,
T(s) = - $\displaystyle {\frac{{R_2/R_1}}{{s^2 C_3 C_5 R_2 R_4 + s C_5(\frac{R_2 R_4}{R_1} + R_2 + R_4) + 1}}}$ (1)
$\displaystyle \omega_{0}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{C_3 C_5 R_2 R_4}}}}$ (2)
Q = $\displaystyle {\frac{{\sqrt{C_3 C_5 R_2 R_4}}}{{C_5(\frac{R_2 R_4}{R_1} + R_2 + R_4)}}}$ (3)

となります. 通過域のゲインを K = R2/R1 とおけば,
T(s) = - $\displaystyle {\frac{{K}}{{s^2 C_3 C_5 R_2 R_4 + s C_5(\frac{R_2 R_4}{R_1} + R_2 + R_4) + 1}}}$  
Q = $\displaystyle {\frac{{\sqrt{C_3 C_5 R_2 R_4}}}{{C_5[R_2 + (1 + K) R_4]}}}$  

となります.

ここで, コンデンサおよび抵抗の比について,

R2 = mrR  
R4 = $\displaystyle {\frac{{R}}{{m_r}}}$  
C3 = mcC  
C5 = $\displaystyle {\frac{{C}}{{m_c}}}$  

とおくと,
$\displaystyle \omega_{0}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{C R}}}$ (4)
Q = $\displaystyle {\frac{{C R}}{{\frac{C}{m_c}[m_r R + (1 + K) \frac{R}{m_r}]}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{m_c}}{{m_r + \frac{1 + K}{m_r}}}}$ (5)

となります.

さまざまな K の値について, mr を変えながら Q の値を描くと, 図2のようになります.

図 2: mr に対する Q の値.(mc = 3 の場合)
\includegraphics{mf_Q.ps}
2は,mc = 3 の場合ですが, Qmc に比例するので, 異なった mc の値に関するグラフは, 図2の形状をそのまま上下にずらしたものになります.

常識的な R1 = R2 = R4 の場合, すなわち mr = 1 における値よりも大きな Q が得られる mr が 存在することがわかります.

この最大の Q となる mr を利用すれば, 一定の Q に対して mc の値を小さく済ませることができます. 指定された Q に対して mc が最小となるのは, 式(5)を mc について解いた式の, mr に関する導関数値が 0 となる mr のときです.

mc = Q[mr + (1 + K)$\displaystyle {\frac{{1}}{{m_r}}}$]  
$\displaystyle {\frac{{d m_c}}{{d m_r}}}$ = Q[1 - (1 + K)mr-2] = 0  
mr = $\displaystyle \sqrt{{1 + K}}$  

したがって,
min mc = Q($\displaystyle \sqrt{{1 + K}}$ + $\displaystyle {\frac{{1 + K}}{{\sqrt{1 + K}}}}$) (6)
  = 2Q$\displaystyle \sqrt{{1 + K}}$ (7)

これ以上の mc が確保されていれば, mr を調整することによって, Q の値を目的の値に下げることができます. mr の値は,式(5)より,
mr + $\displaystyle {\frac{{1 + K}}{{m_r}}}$ = $\displaystyle {\frac{{m_c}}{{Q}}}$  
mr2 - $\displaystyle {\frac{{m_c}}{{Q}}}$mr + (1 + K) = 0  
mr = $\displaystyle {\frac{{\frac{m_c}{Q} \pm \sqrt{\frac{m_c^2}{Q^2} - 4 (1 + K)}}}{{2}}}$  

ここで,図2より, mr は2つの解を持ちますが, Q の極大値が必ず mr$ \ge$1 にあるので, 小さい方の解のほうが mr = 1 に近くなります. 抵抗の比は小さいほうが良いので,こちらの解を選びます.


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Ayumi Nakabayashi
平成24年7月21日