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2 サレンキー型LPFの特性

図 3: サレンキー型LPFの回路
\begin{figure}\input{sk_sch}
\end{figure}
3の回路のサレンキー型LPFの伝達特性と $ \omega_{0}^{}$, Q の値は, アンプのゲインを K とすると,
T(s) = $\displaystyle {\frac{{K}}{{s^2 C_2 C_4 R_1 R_3 + s [C_4(R_1 + R_3) + (1 - K) C_2 R_1] + 1}}}$ (8)
$\displaystyle \omega_{0}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{C_2 C_4 R_1 R_3}}}}$ (9)
Q = $\displaystyle {\frac{{\sqrt{C_2 C_4 R_1 R_3}}}{{C_4(R_1 + R_3) + (1 - K) C_2 R_1}}}$ (10)

となります. しかし,サレンキー型LPFで K の値を大きくすると, Q の値が敏感になりすぎるので, ここでは K = 1 の場合のみを考えます.

ここで, コンデンサおよび抵抗の比について,

R1 = mrR  
R3 = $\displaystyle {\frac{{R}}{{m_r}}}$  
C2 = mcC  
C4 = $\displaystyle {\frac{{C}}{{m_c}}}$  

とおくと,
$\displaystyle \omega_{0}^{}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{C R}}}$ (11)
Q = $\displaystyle {\frac{{C R}}{{\frac{C}{m_c}(m_r + \frac{1}{m_r})R}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{m_c}}{{m_r + \frac{1}{m_r}}}}$ (12)

となります.

Qmr = 1 のときに最大となります. 指定された Q に対する mc の最小値は,

min mc = 2Q (13)
で,これ以上の mc が確保されていれば, mr を調整することによって, Q の値を目的の値に下げることができます. mr の値は,式(12)より,
mr + $\displaystyle {\frac{{1}}{{m_r}}}$ = $\displaystyle {\frac{{m_c}}{{Q}}}$  
mr2 - $\displaystyle {\frac{{m_c}}{{Q}}}$mr + 1 = 0  
mr = $\displaystyle {\frac{{\frac{m_c}{Q} \pm \sqrt{\frac{m_c^2}{Q^2} - 4}}}{{2}}}$  

ここで, mr は2つの解を持ちますが, 一方の解は他方の解の逆数となります. R1 が大きいほうが前段の負荷が軽くなりますので, ここでは mr$ \ge$1 の解を選びます.


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Ayumi Nakabayashi
平成24年7月21日