2 サレンキー型LPFの特性

図 3: サレンキー型LPFの回路

図3の回路のサレンキー型LPFの伝達特性と $\omega_{0}^{}$, Q の値は， アンプのゲインを K とすると，

$${\frac{{K}}{{s^2 C_2 C_4 R_1 R_3 + s [C_4(R_1 + R_3) + (1 - K) C_2 R_1] + 1}}}$$ T(s) = (8)

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{\sqrt{C_2 C_4 R_1 R_3}}}}$$ = (9)

$${\frac{{\sqrt{C_2 C_4 R_1 R_3}}}{{C_4(R_1 + R_3) + (1 - K) C_2 R_1}}}$$ Q = (10)

となります． しかし，サレンキー型LPFで K の値を大きくすると， Q の値が敏感になりすぎるので， ここでは K = 1 の場合のみを考えます．

ここで， コンデンサおよび抵抗の比について，

R₁ = m_rR

$${\frac{{R}}{{m_r}}}$$ R₃ =

C₂ = m_cC

$${\frac{{C}}{{m_c}}}$$ C₄ =

とおくと，

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{C R}}}$$ = (11)

$${\frac{{C R}}{{\frac{C}{m_c}(m_r + \frac{1}{m_r})R}}}$$ Q =

$${\frac{{m_c}}{{m_r + \frac{1}{m_r}}}}$$ = (12)

となります．

Q は m_r = 1 のときに最大となります． 指定された Q に対する m_c の最小値は，

min m_c = 2Q (13)

で，これ以上の m_c が確保されていれば， m_r を調整することによって， Q の値を目的の値に下げることができます． m_r の値は，式(12)より，

$${\frac{{1}}{{m_r}}} {\frac{{m_c}}{{Q}}}$$ =

$${\frac{{m_c}}{{Q}}}$$ = 0

$${\frac{{\frac{m_c}{Q} \pm \sqrt{\frac{m_c^2}{Q^2} - 4}}}{{2}}}$$ m_r =

ここで， m_r は2つの解を持ちますが， 一方の解は他方の解の逆数となります． R₁ が大きいほうが前段の負荷が軽くなりますので， ここでは m_r$\ge$1 の解を選びます．