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A. インピーダンスがミスマッチの場合の定インピーダンスアッテネータの動作

定インピーダンスアッテネータは， 信号源抵抗および負荷抵抗が設計値(今回の場合は600$ \Omega$)であることを前提としていますが， このような前提条件が成り立たない場合にどのように動作するのか， 明確に書かれた文献はありません． この節では，インピーダンスがマッチングしていない場合の動作を検討します．

定インピーダンスアッテネータとフィルタでは， 信号源抵抗 RS と 負荷抵抗 RL が共に R であると仮定してきましたが， この制約を外します． また計算を簡単にするため，橋絡T型ではなくT型で検討します． 回路図は図9となります．

図 9: T型アッテネータ
\begin{figure}\input{figs/Tatt} \end{figure}

これより，

Vo = $\displaystyle {\frac{{R_L}}{{R_1 + R_L}}}$V2 (1)
V2 = $\displaystyle {\frac{{R_2 // (R_1 + R_L)}}{{R_1 + R_2 // (R_1 + R_L)}}}$V1  
  = $\displaystyle {\frac{{\frac{R_2 (R_1 + R_L)}{R_1 + R_2 + R_L}}}{{R_1 + \frac{R_2 (R_1 + R_L)}{R_1 + R_2 + R_L}}}}$V1 = $\displaystyle {\frac{{R_2(R_1 + R_L)}}{{R_1(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}}$V1 (2)
V1 = $\displaystyle {\frac{{R_1 + \{R_2 // (R_1 + R_L)\}}}{{R_S + R_1 + \{R_2 // (R_1 + R_L)\}}}}$VS  
  = $\displaystyle {\frac{{R_1 + \frac{R_2(R_1 + R_L)}{R_1 + R_2 + R_L}}}{{R_S + R_1 + \frac{R_2(R_1 + R_L)}{R_1 + R_2 + R_L}}}}$VS = $\displaystyle {\frac{{R_1(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}{{(R_S + R_1)(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}}$VS (3)
V2 = $\displaystyle {\frac{{R_2(R_1 + R_L)}}{{(R_S + R_1)(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}}$VS (4)
Vo = $\displaystyle {\frac{{R_2 R_L}}{{(R_S + R_1)(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}}$VS (5)

点1から出力までの減衰率(通常の減衰率)を K1， 電圧源の出力から出力までの減衰率を KS とします． すなわち，
K1 = $\displaystyle {\frac{{V_1}}{{V_o}}}$ = $\displaystyle {\frac{{R_1(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}{{R_2 R_L}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{R_1^2 + R_1 R_2 + R_1 R_L + R_1 R_2 + R_2 R_L}}{{R_2 R_L}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{R_1^2 + 2 R_1 R_2 + R_1 R_L + R_2 R_L}}{{R_2 R_L}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{R_1^2}}{{R_2 R_L}}}$ +2$\displaystyle {\frac{{R_1}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{R_1}}{{R_2}}}$ + 1 (6)
KS = $\displaystyle {\frac{{V_S}}{{V_o}}}$ = $\displaystyle {\frac{{(R_S + R_1)(R_1 + R_2 + R_L) + R_2(R_1 + R_L)}}{{R_2 R_L}}}$  
  = K1 + $\displaystyle {\frac{{R_S(R_1 + R_2 + R_L)}}{{R_2 R_L}}}$  
  = K1 + $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R_L}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{{R_1}}{{R_2}}}$ +1$\displaystyle \Bigr)$ + $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R_2}}}$ (7)

ここで，R1, R2 は，減衰率が K である(設計値)として求めると，
R1 = $\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$R (8)
R2 = $\displaystyle {\frac{{2K}}{{K^2 - 1}}}$R (9)

であるので，これを式(6), (7)に代入すると，
K1 = $\displaystyle {\frac{{(K - 1)^2}}{{(K + 1)^2}}}$R2 . $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K R R_L}}}$ +2$\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ + 1  
  = $\displaystyle {\frac{{(K - 1)^3}}{{2K(K + 1)}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ +2$\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{(K - 1)^2}}{{2K}}}$ + 1  
  = $\displaystyle {\frac{{K^3 - 3K^2 + 3K - 1 + 4K^2 - 4K}}{{2K(K + 1)}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ (10)
KS = K1 + $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R_L}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{{K - 1}}{{K + 1}}}$ . $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ +1$\displaystyle \Bigr)$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$  
  = K1 + $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R_L}}}$$\displaystyle \Bigl\{$$\displaystyle {\frac{{(K - 1)^2}}{{2K}}}$ +1$\displaystyle \Bigr\}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$  
  = K1 + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$ (11)

A..0.0.1 RS = RL = R のとき


K1 = $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2K^2}}{{2K}}}$ = K (12)
KS = K1 + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ = K + $\displaystyle {\frac{{2K^2}}{{2K}}}$ = 2K (13)

となり，K1 は設計時の値 K となり， 信号源の出力の半分の 1/K が負荷に現れます．

A..0.0.2 RL = R のとき


K1 = K (14)
KS = K1 + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$ = K + $\displaystyle {\frac{{2K^2}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$ = K + $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$K  
  = $\displaystyle \Bigl($1 + $\displaystyle {\frac{{R_S}}{{R}}}$$\displaystyle \Bigr)$K = $\displaystyle {\frac{{R + R_S}}{{R}}}$K (15)

となり，信号源の出力を R/(R + RS) 倍したものに対して K の減衰率が得られます． この場合，RS が小さいほど出力が大きくなり，RS $ \ll$ R であれば， 減衰がないとみなして構いません．

A..0.0.3 RS = R のとき


K1 = $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ (16)
KS = K1 + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 + 1}}{{2K}}}$ . $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$ + $\displaystyle {\frac{{K^2 - 1}}{{2K}}}$  
  = $\displaystyle {\frac{{R}}{{R_L}}}$K + K = $\displaystyle {\frac{{R + R_L}}{{R_L}}}$K (17)

となり，信号源の出力を RL/(R + RL) 倍したものに対して K の減衰率が得られます． この場合，RL が大きいほど出力が大きくなり，RL $ \gg$ R であれば， 減衰がないとみなして構いません．

RL = R として減衰量を0dBから20dBまで2dBステップで変化させ，RS を変化させた場合の K1 および K の変化を図10に示します．

図 10: RL = R とした場合の減衰量.
\includegraphics{figs/att_RL_fixed.ps}
赤い線，すなわちアッテネータの入力から出力までの減衰量は， RS が変化しても一定の値(設計値)を取ります． 電圧源からの減衰量である青い線も一定間隔であり， アッテネータとして正しく動作することがわかります． 信号源インピーダンスが設計値であれば，すなわち RS/R = 1 であれば， 信号源からの減衰量は設計値より6dB大きくなります．

RS = R として減衰量を0dBから20dBまで2dBステップで変化させ，RL を変化させた場合の K1 および K の変化を図11に示します．

図 11: RS = R とした場合の減衰量.
\includegraphics{figs/att_RS_fixed.ps}
赤い線，すなわちアッテネータの入力から出力までの減衰量は， 間隔が一定ではなく，減衰量が等間隔で変化しなくなってしまいます． RL/R が大きいと，減衰量が小さいときに設計値よりも減衰量が小さくなってしまい， 逆に RL/R が小さいと，減衰量が小さいときに設計値よりも減衰量が大きくなってしまいます． 減衰量が大きい場合は相対的に正しく動作するようです． 一方，電圧源からの減衰量である青い線は一定間隔であり， アッテネータとして正しく動作することがわかります．

ロー出しハイ受けの場合の例を，図12に示します． ここでは， R = 600 $ \Omega$, RS = 100 $ \Omega$ としています． RL = 10 k$ \Omega$ とすると， RL/R = 16.67 となります． 青い線の間隔が下の方で詰まっているので， 減衰量が小さいとほとんど減衰しなくなってしまいます． 赤い線は信号源抵抗と関係ないので，図11と同じです．

図 12: RS = 100 $ \Omega$ とした場合の減衰量.
\includegraphics{figs/att_RS=100.ps}

以上のように，信号源抵抗 RS または負荷抵抗 RL のいずれかが設計値であれば， アッテネータとして正しく動作します．

一般に，最近のオペアンプ出力のオーディオ機器では出力インピーダンスが100$ \Omega$程度ですが， 600$ \Omega$負荷に耐えられるかは微妙です． 仮に出力インピーダンスが100$ \Omega$であるとして，600$ \Omega$を負荷としたアッテネータを駆動すると， 高インピーダンス負荷の場合と比べて出力が6/7となります． 600$ \Omega$の負荷を駆動できる(NE5532など)であれば，この方法で使えます． 一般に，図13のように620$ \Omega$程度を次段の機器の入力端子と並列に接続します．

図 13: 負荷抵抗を設計値に一致させる.
\begin{figure}\input{figs/usage} \end{figure}

信号源インピーダンスを600$ \Omega$に変更できる場合は， アッテネータに接続する機器のインピーダンスは高くてもよく， その場合，オペアンプの負荷は最悪で1.2k$ \Omega$になりますので， 先ほどの場合よりも負荷が軽く，またレベルの減衰も少なくなります． 図14のように510$ \Omega$程度を前段の機器の出力端子と直列に接続し， 信号源の出力インピーダンスを適切に調整できるのであれば， こちらの方法のほうが良いのではないかと思います．

図 14: 出力インピーダンスを設計値に一致させる.
\begin{figure}\input{figs/usage2} \end{figure}

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