6.2 時定数が2段の場合の周波数特性

中域の利得を A_M, 低域の時定数を T_L1, T_L2 とすると， 低域の利得 A_L は次の式で表されます．

$${\frac{{1}}{{1+\frac{1}{j\omega T_{L1}}}}} {\frac{{1}}{{1+\frac{1}{j\omega T_{L2}}}}}$$ A_L =

$${\frac{{1}}{{1-j\frac{1}{\omega T_{L1}}}}} {\frac{{1}}{{1-j\frac{1}{\omega T_{L2}}}}}$$ =

ここで， x = 1/$\omega$T_L1, n = T_L2/T_L1 とおくと，

$${\frac{{1}}{{1-jx}}} {\frac{{1}}{{1-j\frac{x}{n}}}}$$ A_L = (6.3)

$${\frac{{1}}{{(1-\frac{x^2}{n})-jx(1+\frac{1}{n})}}}$$ = (6.4)

負帰還率 $\beta$ の負帰還をかけた場合， 低域の利得 A'_Lは次の式のようになります．

$${\frac{{A_L}}{{1+A_L\beta}}}$$ A'_L = (6.5)

$${\frac{{A_M}}{{(1-\frac{x^2}{n})-jx(1+\frac{1}{n})+A_M\beta}}}$$ = (6.6)

$${\frac{{A_M}}{{(1+A_M\beta-\frac{x^2}{n})-jx(1+\frac{1}{n})}}}$$ = (6.7)

中域の負帰還量を 1 + A_M$\beta$ = F_M とおくと，

$${\frac{{A_M}}{{(F_M-\frac{x^2}{n})-jx(1+\frac{1}{n})}}}$$ (6.8)

となって，周波数特性の形状は，中域の利得 A_M とは関係のないことがわかります．

利得の大きさ(絶対値)は，

$${\frac{{1}}{{\sqrt{(F_M-\frac{x^2}{n})^2+x^2(1+\frac{1}{n})^2}}}}$$ (6.9)

X = x² とおくと，式(6.9)の分母の根号の中は， 次のようになります．

$$\Bigl( {\frac{{X}}{{n}}} \Bigr)^{2}_{} \Bigl( {\frac{{1}}{{n}}} \Bigr)^{2}_{}$$

$${\frac{{1}}{{n^2}}} \Bigl\{ \Bigl( {\frac{{1}}{{n}}} \Bigr)^{2}_{} {\frac{{2F_M}}{{n}}} \Bigr\}$$ = (6.11)

$${\frac{{1}}{{n^2}}} \bigl\{ \bigr\}$$ = (6.12)

$${\frac{{1}}{{n^2}}} \Bigl\{ \Bigl( {\frac{{2nF_M-(n+1)^2}}{{2}}} \Bigr)^{2}_{} \Bigl( {\frac{{2nF_M-(n+1)^2}}{{2}}} \Bigr)^{2}_{} \Bigr\}$$ = (6.13)

$${\frac{{1}}{{n^2}}} \Bigl( {\frac{{2nF_M-(n+1)^2}}{{2}}} \Bigr)^{2}_{} {\frac{{(n+1)^2}}{{n}}} {\frac{{(n+1)^4}}{{4n^2}}}$$ = (6.14)

したがって，分母が最小になる(すなわち | A'_L| が最大になる)のは， X = nF_M - (n + 1)²/2 のとき(すなわち x = x_p $\equiv$ $\sqrt{{nF_M-(n+1)^2/2}}$ のとき)で， このときの角周波数を $\omega_{p}^{}$ とすれば，

$$\omega_{p}^{} {\frac{{1}}{{T_{L1}x_p}}} {\frac{{1}}{{T_{L1}\sqrt{nF_M-\frac{(n+1)^2}{2}}}}}$$ (6.15)

であり， このときの利得 | A'_Lp| は，

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n}F_M-\frac{(n+1)^4}{4n^2}}}}}$$ (6.16)

となります． 中域の利得 A'_M = A_M/F_M に対するこのピークの大きさ P は，

$${\frac{{\vert A'_{Lp}\vert}}{{A'_M}}} {\frac{{F_M}}{{\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n}F_M-\frac{(n+1)^4}{4n^2}}}}} {\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{(n+1)^2}{nF_M}-\frac{(n+1)^4}{4n^2F_M^2}}}}}$$ (6.17)

となります． この根号の中が1以上であれば，ピークを生じることはありません． N = (n + 1)²/n とおけば，この条件は，

$${\frac{{N}}{{F_M}}} {\frac{{N^2}}{{4F_M^2}}} \ge$$ 1 (6.18)

$${\frac{{N^2}}{{4}}} \ge$$ F_M² (6.19)

$${\frac{{N^2}}{{4}}} \le$$ 0 (6.20)

$$\Bigl( {\frac{{N}}{{2}}} \Bigr)^{2}_{} \le$$ 0 (6.21)

$${\frac{{N}}{{2}}} {\frac{{(n+1)^2}}{{2n}}}$$ F_M = (6.22)

帰還量がこれより少ない場合は，式(6.15)の根号の中が負になり， ピークを生じないことになります． 図6.2に，スタガ比を1とした場合に， 負帰還量を変えた場合の利得と位相の周波数特性を示します．

図 6.2: スタガ比が1の場合の周波数特性

ここで，スタガ比が n のとき， ピークを P まで許容した場合に，どれだけの負帰還を掛けられるかを考えます． 式(6.17)を F_M について解くと，

$${\frac{{1}}{{P^2}}} {\frac{{(n+1)^2}}{{n}}} {\frac{{(n+1)^4}}{{4n^2}}}$$ = 0 (6.23)

$${\frac{{\frac{(n+1)^2}{n} \pm \sqrt{\frac{(n+1)^4}{n^2}(1-1/P^2)}}}{{2/P^2}}} {\frac{{P^2(n+1)^2}}{{2n}}} \pm \sqrt{{1-1/P^2}}$$ = (6.24)

符号が負の場合はピークが生じないので，解を与える符号は正です． この関係をグラフで表すと，図6.3のようになります． また，各種のスタガ比に対する帰還量とピークの位置の関係は， 図6.4, 6.5のようになります．

図 6.3: スタガ比と帰還量とピークの関係

図 6.4: 帰還量とピークの位置(n$\ge$1)

図 6.5: 帰還量とピークの位置(n$\le$1)

これらの図の使い方ですが， たとえば，スタガ比を n = 1， 時定数を T_L1 = T_L2 = 25 μF ^. k$\omega$(ms)， 負帰還量を F = 10 ( 20 dB)とします． このとき，図6.3より，ピークの大きさは P = 4.44 dB となります． また，図6.5より，ピークの位置は x_p = 2.83 から，

$${\frac{{\omega_p}}{{2\pi}}} {\frac{{1}}{{2\pi T_{L1}x_p}}}$$ (6.25)

となります． ここで，スタガ比を n = 10 として， T_L2 = 250 μF ^. kΩ とすると， ピークの大きさは P = 0.74 dB となり， ピークの位置は，x_p = 6.28 より f_p = 1.01 [Hz] となります． ここで，スタガ比を n = 0.1 として， T_L2 = 2.5 μF ^. kΩ とすると， ピークの大きさは同じく P = 0.74 dB ですが， ピークの位置は，x_p = 0.628 より f_p = 10.1 [Hz] となります． この3通りの場合の利得の周波数特性は，図6.6のようになります．

図 6.6: 各種スタガ比と周波数特性(F = 10)