• 6.1 ローパス特性
• 6.2 ハイパス特性
• 6.3 ハイブースト特性
• 6.4 ローブースト特性
• 6.5 微分補償3回目
• 6.6 CR型RIAAイコライザ
• 演習4

6 伝達関数--1次の場合

これまで，伝達関数には，変数として j$\omega$ を使ってきましたが， これからは，これを s で表します． 今回は扱いませんが，この s はラプラス変数で， ラプラス変換を使えば過渡応答を求めることもできます． 正弦波に対する定常的な応答を求めるには，s に j$\omega$ を代入してやります．

この記号を使うと，コンデンサのインピーダンス Z_C は，

$${\frac{{1}}{{sC}}}$$ (131)

と表せ，コイルのインピーダンス Z_L は，

Z_L = sL (132)

と表せます．

これから基本となる4つの1次の伝達関数を見ていきます．

6.1 ローパス特性

次の2つの回路は，1次のローパス特性になります．

図 35: ローパス特性の回路

左側のCRによるローパスフィルタの伝達関数は，

$${\frac{{Z_C}}{{R+Z_C}}} {\frac{{\frac{1}{sC}}}{{R + \frac{1}{sC}}}} {\frac{{1}}{{sCR + 1}}}$$ (133)

CR = T_C とおくと，

$${\frac{{1}}{{sT_C + 1}}}$$ (134)

となります．この T_C は時定数(time constant)と呼ばれます．

右側のLRによるローパスフィルタの伝達関数は，

$${\frac{{R}}{{Z_L + R}}} {\frac{{R}}{{sL + R}}} {\frac{{1}}{{sL/R + 1}}}$$ (135)

L/R = T_L とおくと，

$${\frac{{1}}{{sT_L + 1}}}$$ (136)

となり，CRの場合と同じ形になりました．

一般に，1次のローパス特性の伝達関数は，

$${\frac{{1}}{{sT + 1}}}$$ (137)

となり，p = - 1/T とおけば，

$${\frac{{1}}{{1 - s/p}}}$$ (138)

となります． この p は伝達関数の極(ポール) (pole)といいます． s = p のとき，T が無限大になるからです． 現実には，p は複素数ではありませんので， この伝達関数 T が無限大になることはありません．

一般に，伝達関数の分母 D(s) が0となる解をポールといいいます． 伝達関数の分母の多項式は，ポール p₁, p₂,... によって，次のように変形できます．

D(s) = 1 + a₁s + a₂s² + a₃s³ + ^... (139)

= (1 - s/p₁)(1 - s/p₂)(1 - s/p₃) ^... (140)

この伝達関数の，ゲインと位相の周波数特性を調べてみましょう． そのために， $\omega_{0}^{}$ = - p とおき，s = j$\omega$ を代入し，有理化します．

$$\omega {\frac{{1}}{{1 + j\omega/\omega_0}}} {\frac{{1}}{{1 + j\omega/\omega_0}}} {\frac{{1 - j\omega/\omega_0}}{{1 - j\omega/\omega_0}}}$$ =

$${\frac{{1 - j\omega/\omega_0}}{{1 + (\omega/\omega_0)^2}}}$$ = (141)

ゲインは，

$$\omega {\frac{{\sqrt{1^2+(\omega/\omega_0)^2}}}{{1 + (\omega/\omega_0)^2}}} {\frac{{1}}{{\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^2}}}}$$ (142)

となります． $\omega$ $\ll$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega$/$\omega_{0}^{}$ $\ll$ 1 となり，分母はほぼ 1 ですので， | T| $\approx$ 1 となります． $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき，分母は $\sqrt{{2}}$ となるので， | T| = 1/$\sqrt{{2}}$ となります． これをデシベルで表すと約 -3 dB で， f_c = $\omega_{0}^{}$/2$\pi$ はカットオフ周波数と呼ばれます． $\omega$ $\gg$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega$/$\omega_{0}^{}$ $\gg$ 1 となり，分母の根号の中の 1 を無視することができるので， | T| $\approx$ 1/($\omega$/$\omega_{0}^{}$) = $\omega_{0}^{}$/$\omega$ となります． したがって，周波数が10倍となるごとにゲインは1/10になり， -20 dB/dec または -6 dB/oct でゲインが直線的に下がります．

位相は，

$$\omega {\frac{{-\omega/\omega_0}}{{1}}} \Bigl( {\frac{{\omega}}{{\omega_0}}} \Bigr)$$ (143)

となり， $\omega$$\to$ 0 で 0^o， $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ で -45^o， $\omega$$\to$$\infty$ で -90^o となります．

グラフで表すと，図36のようになります．

図 36: ローパス特性

6.2 ハイパス特性

次の2つの回路は，1次のハイパス特性になります．

図 37: ハイパス特性の回路

左側のCRによるハイパスフィルタの伝達関数は，

$${\frac{{R}}{{Z_C + R}}} {\frac{{R}}{{\frac{1}{sC} + R}}} {\frac{{1}}{{\frac{1}{sCR} + 1}}}$$ (144)

CR = T_C とおくと，

$${\frac{{1}}{{\frac{1}{sT_C} + 1}}}$$ (145)

となります．

右側のLRによるハイパスフィルタの伝達関数は，

$${\frac{{Z_L}}{{R + Z_L}}} {\frac{{sL}}{{R + sL}}} {\frac{{1}}{{\frac{1}{sL/R} + 1}}}$$ (146)

L/R = T_L とおくと，

$${\frac{{1}}{{\frac{1}{sT_L} + 1}}}$$ (147)

となり，CRの場合と同じ形になりました．

一般に，1次のハイパス特性の伝達関数は，

$${\frac{{1}}{{\frac{1}{sT} + 1}}}$$ (148)

となり，p = - 1/T とおけば，

$${\frac{{1}}{{1 - p/s}}}$$ (149)

となります．

この伝達関数，のゲインと位相の周波数特性を調べてみましょう． そのために， $\omega_{0}^{}$ = - p とおき，s = j$\omega$ を代入し，有理化します．

$$\omega {\frac{{1}}{{1 + \omega_0/j\omega}}} {\frac{{1}}{{1 + \omega_0/j\omega}}} {\frac{{1 - \omega_0/j\omega}}{{1 - \omega_0/j\omega}}}$$ =

$${\frac{{1 - \omega_0/j\omega}}{{1 + (\omega_0/\omega)^2}}} {\frac{{1 + j\omega_0/\omega}}{{1 + (\omega_0/\omega)^2}}}$$ = (150)

ゲインは，

$$\omega {\frac{{\sqrt{1^2+(\omega_0/\omega)^2}}}{{1 + (\omega_0/\omega)^2}}} {\frac{{1}}{{\sqrt{1+(\omega_0/\omega)^2}}}}$$ (151)

となります． $\omega$ $\gg$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega_{0}^{}$/$\omega$ $\ll$ 1 となり，分母はほぼ 1 ですので， | T| $\approx$ 1 となります． $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき，分母は $\sqrt{{2}}$ となるので， | T| = 1/$\sqrt{{2}}$ となります． これをデシベルで表すと約 -3 dB です． $\omega$ $\ll$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega_{0}^{}$/$\omega$ $\gg$ 1 となり，分母の根号の中の 1 を無視することができるので， | T| $\approx$ 1/($\omega_{0}^{}$/$\omega$) = $\omega$/$\omega_{0}^{}$ となります． したがって，周波数が1/10となるごとにゲインは1/10になり， -20 dB/dec または -6 dB/oct でゲインが直線的に下がります．

位相は，

$$\omega {\frac{{\omega_0/\omega}}{{1}}} \Bigl( {\frac{{\omega_0}}{{\omega}}} \Bigr)$$ = (152)

となり， $\omega$$\to$ 0 で 90^o， $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ で 45^o， $\omega$$\to$$\infty$ で 0^o となります．

グラフで表すと，図38のようになります．

図 38: ハイパス特性

6.3 ハイブースト特性

現実の回路では，無限にゲインが上昇する回路はあり得ないのですが， 解析に便利なため，ある周波数からゲインが上昇していく伝達関数を考えます．

$${\frac{{s}}{{z}}}$$ (153)

z は，この伝達関数のゼロ(zero)で， s = z のとき，伝達関数が0になります． 実際には，z は複素数ではないので， この伝達関数の値が0になることはありません． $\omega_{0}^{}$ = - z とおき，s に j$\omega$ を代入すると，

$$\omega {\frac{{j\omega}}{{\omega_0}}}$$ (154)

となります．

一般に，伝達関数の分子 N(s) が0となる解をゼロといいいます． 伝達関数の分母の多項式は，ゼロ z₁, z₂,... によって，次のように変形できます．

N(s) = 1 + a₁s + a₂s² + a₃s³ + ^... (155)

= (1 - s/z₁)(1 - s/z₂)(1 - s/z₃) ^... (156)

これより，ゲインは，

$$\omega \sqrt{{1 + (\omega/\omega_0)^2}}$$ (157)

となります． したがって， $\omega$ $\ll$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega$/$\omega_{0}^{}$ $\ll$ 1 ですから，ゲインは | T| $\approx$ 1 となります． $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき， | T| = $\sqrt{{2}}$ となり，これは約 +3 dB です． $\omega$ $\gg$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega$/$\omega_{0}^{}$ $\gg$ 1 ですから，根号の中の1を無視できて，ゲインは | T| $\approx$ $\omega$/$\omega_{0}^{}$ となり，周波数が10倍になればゲインも10倍になります．

位相は，

$$\omega {\frac{{\omega/\omega_0}}{{1}}} {\frac{{\omega}}{{\omega_0}}}$$ (158)

で， $\omega$$\to$ 0 のとき 0^o， $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき 45^o， $\omega$$\to$$\infty$ のとき 90^o となります．

グラフで表すと，図39のようになります．

図 39: ハイブースト特性

6.4 ローブースト特性

ある周波数以下でゲインが上昇していく伝達関数を考えます．

$${\frac{{z}}{{s}}}$$ (159)

$\omega_{0}^{}$ = - z とおき，s に j$\omega$ を代入すると，

$$\omega {\frac{{\omega_0}}{{j\omega}}} {\frac{{\omega_0}}{{\omega}}}$$ (160)

となります．

これより，ゲインは，

$$\omega \sqrt{{1 + (\omega_0/\omega)^2}}$$ (161)

となります． したがって， $\omega$ $\gg$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega_{0}^{}$/$\omega$ $\ll$ 1 ですから，ゲインは | T| $\approx$ 1 となります． $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき， | T| = $\sqrt{{2}}$ となり，これは約 +3 dB です． $\omega$ $\ll$ $\omega_{0}^{}$ のとき， $\omega_{0}^{}$/$\omega$ $\gg$ 1 ですから，根号の中の1を無視できて，ゲインは | T| $\approx$ $\omega_{0}^{}$/$\omega$ となり，周波数が1/10倍になればゲインは10倍になります．

位相は，

$$\omega {\frac{{-\omega_0/\omega}}{{1}}} \Bigl( {\frac{{\omega_0}}{{\omega}}} \Bigr)$$ (162)

で， $\omega$$\to$ 0 のとき -90^o， $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき -45^o， $\omega$$\to$$\infty$ のとき 0^o となります．

グラフで表すと，図40のようになります．

図 40: ローブースト特性

6.5 微分補償3回目

伝達関数は，式(109)より，

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{1+sCR_1}}{{1+sC(R_1//R_2)}}}$$ (163)

で，

$${\frac{{1}}{{CR_1}}}$$ z = (164)

$${\frac{{1}}{{C(R_1//R_2)}}}$$ p = (165)

とおけば，

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{1-s/z}}{{1-s/p}}} {\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{1}}{{1 - s/p}}}$$ (166)

と書けます． この式の第1項は，周波数に依存しません． 第2項はハイブースト特性で，| z| より周波数が高くなるとゲインが上昇します． 第3項はハイカット(ローパス)特性で，| p| より周波数が高くなるとゲインが下降します． 伝達関数の積は，ゲインに関してはそれぞれの積に，位相に関しては和になります． ゲインをデシベルで表した場合は，ゲインも和になります． この場合， R₁ > (R₁//R₂) なので，| z| < | p| となります． したがってゲインの周波数特性は，低域では R₂/(R₁ + R₂) で， | z| からゲインが 6 dB/oct で上昇し，| p| で平坦に戻ります． このようすを漸近線で示したものが，図41です．

図 41: 微分型位相補償の特性(漸近線による)

ゼロ，ポールの値は，

$${\frac{{1}}{{CR_1}}} {\frac{{1}}{{1000\times10^{-12}\cdot 1\times10^3}}}$$ z = (167)

$${\frac{{1}}{{C(R_1//R_2)}}} {\frac{{1}}{{1000\times10^{-12}\cdot (1\times10^3//100)}}}$$ p = (168)

です．

位相は，

$$\phi {\frac{{\omega}}{{\vert z\vert}}} {\frac{{\omega}}{{\vert p\vert}}}$$ (169)

となります． 位相がもっとも進むのは，証明は省略しますが $\omega$ = $\sqrt{{\vert z\vert\cdot\vert p\vert}}$ の時で， このときの角周波数を $\omega_{m}^{}$ とすると，

$$\omega_{m}^{} \sqrt{{1\times10^6 \cdot 11\times10^6}}$$ (170)

なので，

$$\phi_{m}^{} {\frac{{3.3}}{{11}}}$$ (171)

となります． 特性を図42に示します．

図 42: 微分型位相補償の特性

6.6 CR型RIAAイコライザ

RIAAイコライザの特性は，図43のようになっており， 時定数は，

T₁ = 3180 [μs]

T₂ = 318 [μs]

T₃ = 75 [μs]

と定められています． この特性を実現する伝達関数は，

$${\frac{{1-s/z_2}}{{(1-s/p_1)(1-s/p_3)}}}$$ (172)

のようになります． ここで，

$${\frac{{1}}{{T_1}}}$$ p₁ =

$${\frac{{1}}{{T_2}}}$$ z₂ =

$${\frac{{1}}{{T_3}}}$$ p₃ =

です．

図 43: RIAAイコライジング特性

この特性を実現するには，たとえば図44のような回路を使います．

図 44: CR型RIAAイコライザ

この回路の伝達関数を求めます． R₂, C₁, C₂ の部分のインピーダンスを Z とおくと，

Z = (R₂ + Z_C1)//Z_C2

$${\frac{{1}}{{\frac{1}{R_2 + \frac{1}{sC_1}} + sC_2}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\frac{sC_1}{sC_1R_2+1}+sC_2}}}$$ =

$${\frac{{sC_1R_2+1}}{{sC_1+sC_2(sC_1R_2+1)}}}$$ =

$${\frac{{sC_1R_2+1}}{{s^2C_1C_2R_2+s(C_1+C_2)}}}$$ =

これを使うと，この回路の伝達関数は，

$${\frac{{Z}}{{R_1 + Z}}}$$ T(s) =

$${\frac{{\frac{sC_1R_2+1}{s^2C_1C_2R_2+s(C_1+C_2)}}}{{R_1+\frac{sC_1R_2+1}{s^2C_1C_2R_2+s(C_1+C_2)}}}}$$ =

$${\frac{{sC_1R_2+1}}{{s^2C_1C_2R_1R_2+s(C_1R_1+C_1R_2+C_2R_1)+1}}}$$ = (173)

となります． 一方，式(172)より，

$${\frac{{1-s/z_2}}{{(1-s/p_1)(1-s/p_3)}}} {\frac{{1-s/z_2}}{{1-s(1/p_1+1/p_3)+s^2/(p_1p_3)}}} {\frac{{1+sT_2}}{{1+s(T_1+T_3)+s^2T_1T_3}}}$$ (174)

ですから，s の各係数を比較することにより，

C₁R₂ = T₂ (175)

C₁C₂R₁R₂ = T₁T₃ (176)

C₁R₁ + C₁R₂ + C₂R₁ = T₁ + T₃ (177)

という関係が成り立つことがわかります． 式(175)を式(176)に代入することにより，

C₂R₁T₂ = T₁T₃

$${\frac{{T_1T_3}}{{T_2}}}$$ C₂R₁ = (178)

これらを式(177)に代入することにより，

$${\frac{{T_1T_3}}{{T_2}}}$$ = T₁ + T₃

$${\frac{{T_1T_3}}{{T_2}}}$$ C₁R₁ = (179)

となります．

まとめると，

C₁R₂ = T₂ = 318 [μs] (180)

$${\frac{{T_1T_3}}{{T_2}}}$$ C₂R₁ = (181)

$${\frac{{T_1T_3}}{{T_2}}}$$ C₁R₁ = (182)

を満たす定数をもとめればよいことになります． C₁ としてE6系列の 0.047 μF を選ぶと，

$${\frac{{318\times10^{-6}}}{{0.047\times10^{-6}}}} \approx$$ R₂ =

$${\frac{{2187\times10^{-6}}}{{0.047\times10^{-6}}}} \approx$$ R₁ =

$${\frac{{750\times10^{-6}}}{{47\times10^3}}} \approx$$ C₂ =

となります． C₂ としては， 0.015 μF と 0.001 μF を並列にすればよいでしょう．

この回路の特性とRIAA偏差を調べましょう．

function ()
{
    f <- dec(10, 100e3, 30)     # 周波数
    s <- (0+1i) * 2 * pi * f

    # 正しいRIAA特性
    T1 <- 3180e-6
    T2 <- 318e-6
    T3 <- 75e-6
    TT <- (1+s*T2)/((1+s*T1)*(1+s*T3))

    # 容易に入手可能な定数によるRIAA特性
    R1 <- 47e3
    R2 <- 6.8e3
    C1 <- 0.047e-6
    C2 <- 0.016e-6
    T <- (1+s*C1*R2)/(1 + s*(C1*R1+C1*R2+C2*R1) + s^2*C1*C2*R1*R2)

    # 次段の入力インピーダンスが1Mohmの場合の特性
    Z <- (R2 + 1/(s*C1)) %p% (1/(s*C2)) %p% 1e6
    Tp <- Z / (R1 + Z)

    par(mfrow=c(2, 1))
    semilogplot(f, dB(cbind(T, Tp)), type="l", lty=1, col=c("red", "blue"),
        xlim=c(20, 20e3), ylim=c(-40, 0), yaxs="i",
        xlab="Frequency (Hz)", ylab="Gain (dB)")

    d <- T / TT                 # RIAA偏差
    d <- d / d[near(f, 1e3)]    # 偏差の基準を1kHzにする
    dp <- Tp / TT               # RIAA偏差(次段のZin=1Mohm)
    dp <- dp / dp[near(f, 1e3)]
    semilogplot(f, dB(cbind(d, dp)), type="l", lty=1, col=c("red", "blue"),
        xlim=c(20, 20e3), ylim=c(-1, 1), yaxs="i",
        xlab="Frequency (Hz)", ylab="RIAA error (dB)")
}

関数 near(x, v) は，値 v にもっとも近い配列 x の要素の番号(添字)を返します． したがって，d[near(f, 1e3)] は，1kHz にもっとも近い周波数のRIAA偏差の値になります． この値ですべてのRIAA偏差を割っていますから，1kHz の偏差が 1 (0dB)になります．

赤い線は次段の入力インピーダンスが無限大の場合で， 青い線は次段の入力インピーダンスが 1 MΩ の場合です． このように，次段の入力インピーダンスが低くなると， 低域のRIAA偏差がマイナス方向に大きくなります． この偏差を小さくするには，最初から次段の入力インピーダンスを含めて伝達関数を求めます．

図 45: RIAA特性

図 46: RIAA偏差

図47 (a)では，次段の入力インピーダンスとして R₃ を含めました．

図 47: CR型RIAAイコライザに次段の入力インピーダンスを付加

この R₃ を(b)のように R₁ の直後に移します． 点線から左側を見たインピーダンスは R₁//R₃ であり， この点線で切り離した時の開放電圧は v_iR₃/(R₁ + R₃) ですから， テブナンの定理により，(c)のように書き直せます． したがって，R₁//R₃ が 47 kΩ になるようにすれば， RIAA特性が得られます．

たとえば， R₃ = 470 kΩ とすると，R₁ の値は，

$${\frac{{1}}{{\frac{1}{47}-\frac{1}{470}}}}$$ (183)

ですから， 51 kΩ を使えばよいでしょう．

演習4

R₁ = 51 kΩ, R₃ = 470 kΩ とした場合のRIAA特性と， 偏差をグラフに描きましょう．