• 7.1 判別式が正の場合
  • 7.1.0.1 数値例
  
  
• 7.2 判別式が0の場合
  • 7.2.0.1 数値例
  
  
• 7.3 判別式が負の場合
  • 7.3.0.1 数値例
  
  
• 7.4 まとめ
• 7.5 2段CRローパスフィルタ
• 7.6 出力トランスの漏れインダクタンスと浮遊容量
• 演習5
• 回答例5

7 伝達関数--2次の場合

図48のような，抵抗とコイルとコンデンサを組み合わせた回路を考えます．

図 48: コイルとコンデンサによる2次ローパスフィルタ

この回路の伝達関数を求めます． C と R₂ の並列の部分のインピーダンスを Z とすると，

$${\frac{{1}}{{sC + \frac{1}{R_2}}}}$$ Z =

$${\frac{{R_2}}{{sCR_2+1}}}$$ = (184)

ですから，伝達関数 T(s) は，

$${\frac{{Z}}{{R_1+sL+Z}}}$$ T(s) =

$${\frac{{\frac{R_2}{sCR_2+1}}}{{R_1+sL+\frac{R_2}{sCR_2+1}}}}$$ =

$${\frac{{R_2}}{{sCR_1R_2+R_1+s^2CLR_2+sL+R_2}}}$$ =

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2+s(CR_1R_2+L)+s^2CLR_2}}}$$ =

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{1}}{{1+s\{C(R_1//R_2)+L/(R_1+R_2)\}+s^2CL\frac{R_2}{R_1+R_2}}}}$$ = (185)

となります．

この伝達関数の振る舞いを知るため， 次の形の伝達関数を調べます．

$${\frac{{1}}{{1 + b s + a s^2}}}$$ (186)

7.1 判別式が正の場合

分母の2次式の判別式，

D = b² - 4a (187)

が正であれば， 1 + bs + as² = 0 の実解 p₁, p₂によって分母を因数分解できます．

$${\frac{{1}}{{(1 - s/p_1)(1 - s/p_2)}}}$$ (188)

a > 0, b > 0 の場合，解と係数の関係より必ず p₁, p₂ < 0 となり， 1次のローパス特性が2段接続されたものと解釈できます． ただし，2つのローパスフィルタ間の干渉はありません．

図 49: 判別式が正の場合

7.1.0.1 数値例

R₁ = 500 Ω, L = 5 mH, C = 5 μF, R₂ = 1 kΩ とします．

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{500}}{{500 + 1000}}}$$ a =

$${\frac{{L}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{5\times10^{-3}}}{{500+1000}}}$$ b =

となり，分母が0となる解は，

p₁ = - 602.4, p₂ = - 99600 (189)

で，カットオフ周波数は，

$${\frac{{-p_1}}{{2\pi}}} {\frac{{-p_2}}{{2\pi}}}$$ (190)

となります．

図 50: 判別式が正の場合

ゲインの周波数特性を求めるRの関数は，次のようになります．

function (R1=500, L=5e-3, C=5e-6, R2=1e3)
{
    f <- dec(10, 100e3, 30)
    s <- 2 * pi * f * (0+1i)
    XL <- s * L
    XC <- 1/(s * C)
    Z <- XC %p% R2
    T <- Z / (R1 + XL + Z)

    semilogplot(f, dB(T), type="l", col="red",
        ylim=c(-70, 10), yaxs="i",
        xlab="Frequency (Hz)", ylab="Gain (dB)")
}

7.2 判別式が0の場合

この場合は， 1 + bs + as² = 0 の解は重解となり，それを p とすると， 伝達関数は，

$${\frac{{1}}{{(1 - s/p)^2}}}$$ (191)

となり，カットオフ周波数が | p| のローパスフィルタを2段重ねたものになります． カットオフ周波数における減衰は -6 dB です．

図 51: 判別式が0の場合

7.2.0.1 数値例

R₁ = 500 Ω, L = 35.54 mH, C = 0.7035 μF, R₂ = 1 kΩ とします．

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{500}}{{500 + 1000}}}$$ a =

$${\frac{{L}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{35.54\times10^{-3}}}{{500+1000}}}$$ b =

となり，分母が0となる解は，

p = - 7740 (192)

で，カットオフ周波数は，

$${\frac{{-p}}{{2\pi}}}$$ (193)

となります．

図 52: 判別式が0の場合

7.3 判別式が負の場合

この場合，分母が0となる解は複素数になります．

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{\sqrt{a}}}}$$ = (194)

$${\frac{{\sqrt{a}}}{{b}}}$$ Q = (195)

とおけば，伝達関数は次のようになります．

$${\frac{{1}}{{1 + \frac{1}{Q\omega_0}s + \frac{1}{\omega_0^2}s^2}}}$$ (196)

この場合，判別式は，

$${\frac{{1}}{{Q^2 \omega_0^2}}} {\frac{{4}}{{\omega_0^2}}} {\frac{{1}}{{\omega_0^2}}} \Bigl( {\frac{{1}}{{Q^2}}} \Bigr)$$ (197)

で，これが負になるのは，

$${\frac{{1}}{{Q^2}}}$$ < 0

$${\frac{{1}}{{Q^2}}}$$ < 4

$${\frac{{1}}{{4}}}$$ Q² >

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ Q > (198)

のときです．

ゲインを求めると，

$$\omega {\frac{{1}}{{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2} + j\frac{\omega}{Q\omega_0}}}}$$ =

$${\frac{{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2} - j\frac{\omega}{Q\omega_0}... ...\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\bigr)^2 + \bigl(\frac{\omega}{Q\omega_0}\bigr)^2}}}$$ =

$$\omega {\frac{{\sqrt{\bigl(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\bigr)^2 + \bigl... ...\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\bigr)^2 + \bigl(\frac{\omega}{Q\omega_0}\bigr)^2}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\bigl(1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\bigr)^2 + \bigl(\frac{\omega}{Q\omega_0}\bigr)^2}}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{\omega^4}{\omega_0^4}+(\frac{1}{Q^2\omega_0^2}-\frac{2}{\omega_0^2})\omega^2 + 1}}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{\omega^4}{\omega_0^4}+\frac{1}{\omega_0^2}(\frac{1}{Q^2}-2)\omega^2 + 1}}}}$$ = (199)

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{1}{\omega_0^4}\{\omega^4+\omega_0^2(\frac{1}{Q^2}-2)\omega^2\} + 1}}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{1}{\omega_0^4}\{\omega^2+\omega_0^2(\frac{1}{2Q^2}-1)\}^2- (\frac{1}{2Q^2}-1)^2 + 1}}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\sqrt{\frac{1}{\omega_0^4}\{\omega^2+\omega_0^2(\frac{1}{2Q^2}-1)\}^2+ \frac{Q^2-1/4}{Q^4}}}}}$$ = (200)

したがって，分母の根号の中は $\omega^{2}_{}$ = $\omega_{0}^{2}$(1 - 1/2Q²) のときに， 最小値 (Q² -1/4)/Q⁴ をとります． このとき，ゲインは最大になります．

$$\omega_{{\rm peak}}^{} \sqrt{{1 - \frac{1}{2Q^2}}} \omega_{0}^{}$$ = (201)

$${\frac{{Q^2}}{{\sqrt{Q^2-1/4}}}}$$ A_peak = (202)

ピークができる条件は，

$${\frac{{1}}{{2Q^2}}}$$ > 0

$${\frac{{1}}{{2Q^2}}}$$ < 1

2Q² > 1

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ Q² >

$${\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}$$ Q > (203)

であり， Q = 1/$\sqrt{{2}}$ のときに最大平坦特性(バタワース特性)となります．

また， $\omega$ = $\omega_{0}^{}$ のとき， 式(199)より，

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{\sqrt{1 + 1/Q^2 - 2 + 1}}}}$$ (204)

となり，Q は，カットオフ周波数 $\omega_{0}^{}$ におけるゲインを表していることがわかります．

7.3.0.1 数値例

R₁ = 100 Ω, L = 50 mH, C = 0.5 μF, R₂ = 1 kΩ とします．

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{100}}{{100 + 1000}}}$$ a =

$${\frac{{L}}{{R_1+R_2}}} {\frac{{50\times10^{-3}}}{{100+1000}}}$$ b =

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{\sqrt{a}}}}$$ =

$${\frac{{\sqrt{a}}}{{b}}}$$ Q =

となります． ピークの周波数と，そのときのゲインは，

$$\omega_{{\rm peak}}^{} \sqrt{{1 - \frac{1}{2Q^2}}} \omega_{0}^{}$$ =

$${\frac{{Q^2}}{{\sqrt{Q^2-1/4}}}}$$ A_peak =

です． このゲインは，低域のゲイン R₂/(R₁ + R₂) に対するものです．

図 53: 判別式が負の場合

バタワース特性となるのは， たとえば， R₁ = 500 Ω, L = 57.87 mH, C = 0.432 μF, R₂ = 1 kΩ のときで，特性は，図54のようになります． このとき，カットオフ周波数におけるゲインは -3 dB となります．

図 54: バタワース特性

7.4 まとめ

2次の伝達関数は，次のように表すこともあります．

$${\frac{{1}}{{1 + s\frac{1}{Q\omega_0} + s^2\frac{1}{\omega_0^2}}}} {\frac{{1}}{{1 + s\frac{2\zeta}{\omega_0} + s^2\frac{1}{\omega_0^2}}}} {\frac{{\omega_0^2}}{{\omega_0^2 + 2 s \zeta \omega_0 + s^2}}}$$ (205)

$\zeta$ は減衰係数と呼ばれ，Q とは，

$$\zeta {\frac{{1}}{{2Q}}} {\frac{{1}}{{2\zeta}}}$$ (206)

という関係にあります．

Q, $\zeta$ と特性の関係を，以下に示します．

Q	< ${\frac{{1}}{{2}}}$	${\frac{{1}}{{2}}}$	...	${\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}$	> ${\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}$
$\zeta$	> 1	1	...	${\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}$	< ${\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}$
解	実2	実1	複素数
ピーク	なし				あり

7.5 2段CRローパスフィルタ

フィルタの効きをよくするために，図55のように CRローパスフィルタを重ねることがあります．

図 55: 2段ローパスフィルタ

伝達関数は，次のようになります．

$${\frac{{1}}{{1 + s(C_1R_1+C_2R_2+C_2R_1) + s^2C_1C_2R_1R_2}}}$$ (207)

これより，

$$\omega_{0}^{} {\frac{{1}}{{\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}}}$$ = (208)

$${\frac{{\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}}{{C_1R_1+C_2R_2+C_2R_1}}}$$ Q = (209)

R₁ = R₂, C₁ = C₂ とすると，Q = 1/3 となります． 図56の赤い線が，この場合です．

図 56: 2段ローパスフィルタの周波数特性

R₂ = 10R₁, C₂ = C₁/10 とすると，

$${\frac{{C_1R_1}}{{2C_1R_1+0.1C_1R_1}}} {\frac{{1}}{{2.1}}}$$ (210)

となります． 図56の青い線が，この場合です． このように，後段のインピーダンスを高くすることにより， Q を大きくすることができますが，0.5が限界です． すなわち，$\omega_{0}^{}$ でゲインが -6 dB 以下となります． このように， CRだけではバタワース特性($\omega_{0}^{}$ で -3 dB)を得ることはできません．

7.6 出力トランスの漏れインダクタンスと浮遊容量

東栄変成器のシングル用出力トランスT-850 7kの 3 kΩ タップの 漏れインダクタンス L_l，浮遊容量 C_s は，実測値で，

R_L = 3 kΩ

L_l = 31 mH

C_s = 460 pF

です． これを6BM8の五極管接続と三極管接続でドライブした場合を考えます． 等価回路は，図57のようになります．

図 57: 出力段の高域等価回路

まず五極管接続ですが， 動作点を E_p = 200 V, E_g2 = 200 V, E_g = - 15.3 V, I_p = 35 mA とすれば，三定数は $\mu$ = 125, g_m = 5.3 mS, r_p = 23.5 kΩ となります． したがって，

$$\omega_{0}^{} \sqrt{{\frac{r_p+R_L}{C_sL_lR_L}}}$$ =

$${\frac{{\sqrt{\frac{C_sL_lR_L}{r_p+R_L}}}}{{C_s(r_p//R_L) + L_l/(r_p+R_L)}}}$$ Q =

となり，ピークは生じませんが，やや肩の張った特性となります(図58の赤い線)．

図 58: 出力段の周波数特性

三極管接続の場合， 動作点を E_p = 200 V, E_g = - 16.5 V, I_p = 35 mA とすれば，三定数は $\mu$ = 8.3, g_m = 5.7 mS, r_p = 1.46 kΩ となります． したがって，

$$\omega_{0}^{}$$ = 51 [kHz]

Q = 0.42

となり，五極管接続よりもカットオフ周波数が下がり，また Q も低くなります(図58の青い線)．

今回の例ではピークが生じませんでしたが， 五極管接続では場合によってはピークが生じることもあるでしょう．

2次の負荷を開放にすると，特に三極管接続の場合にピークが生じやすくなります．

演習5

LCRによるローパスフィルタ， CRによる2段ローパスフィルタ， 出力トランスの漏れインダクタンスと浮遊容量の例をSPICEでシミュレーションしてみましょう．

回答例5

図 59: LCRによるローパスフィルタ

図 60: CRによる2段ローパスフィルタ

図 61: 出力トランスの漏れインダクタンスと浮遊容量の影響