• 演習3
• 回答例3
• 4.1 SPICEによるシミュレーション
• 4.2 波形を使わずに振幅を求める
• 4.3 任意の位相の2つの波形を加算する
• 4.4 ベクトルによる計算例
  • 4.4.1 抵抗とコンデンサの並列回路
  • 4.4.2 負帰還の微分補償

4 複数の素子を組み合わせた場合

図16のように，抵抗 R とコンデンサ C を直列に接続し， 電圧 v_i を加えます． このとき，コンデンサの両端を出力として，この電圧 v_o = v_C を求めます．

図 16: 抵抗とコンデンサを直列に接続した場合

この回路はローパスフィルターです． 同じ入力電圧 v_i を与えても， 周波数によって出力の大きさ(と位相)が変わってきます．

このように素子が直列に組み合わされている場合， 流れる電流は共通ですから，電流に着目して解析するのが簡単です． v_i として何ボルトかけたのか不明ですが， この回路に振幅が 1mA の電流が流れたとしましょう． 周波数は 1kHz とします．

抵抗 R の両端には，オームの法則により，

V_Rm = I_mR = 1 x 10^{-3 .} 15.9 x 10³ = 15.9 [V] (23)

の電圧が生じています． この電圧の位相は，電流の位相と同じです．

図 17: 各部の波形

コンデンサ C の両端の電圧は， コンデンサのリアクタンス X_C が

$${\frac{{1}}{{2 \pi f C}}} {\frac{{1}}{{6.28 \cdot 1000 \cdot 0.01\times 10^{-6}}}} \approx$$ (24)

より，

V_Cm = I_mX_C = 1 x 10^{-3 .} 15.9 x 10³ = 15.9 [V] (25)

となります． ただし，コンデンサの両端の電圧の位相は，電流よりも 90^o 遅れています．

この回路に加えられていた電圧の瞬時値 v_i は， 抵抗の両端の電圧の瞬時値 v_R と， コンデンサの両端の電圧の瞬時値 v_C を加えたものになります．

v_i = v_R + v_C (26)

まずは，数値的に調べてみましょう． ここでは，Rを使います．

function ()
{
    f <- 1e3                    # 周波数
    T <- 1/f                    # 周期
    t <- seq(0, 2*T, len=201)           # 2周期分
    i <- 1e-3 * sin(2 * pi * f * t)     # 電流の瞬時値
    vR <- 15.9 * sin(2 * pi * f * t)    # 抵抗の両端の電圧の瞬時値
    vC <- -15.9 * cos(2 * pi * f * t)   # コンデンサの両端の電圧の瞬時値
    vi <- vR + vC                       # 入力電圧の瞬時値
    par(mfrow=c(2, 1))          # グラフを2行1列にならべて描く
    plot(t, i, type="l")        # 電流の波形
    matplot(t, cbind(vR, vC, vi), type="l", lty=1, col=2:4,
        ylab="vR, vC, vi")      # 電圧の波形
}

実行結果は，図18のようになります． 赤い線が抵抗の両端の電圧，緑の線がコンデンサの両端の電圧，青い線が入力電圧です．

図 18: Rによる合成波形

この結果を見ると， 入力電圧の振幅は 22.5V くらいに見えます． したがって，入力電圧を 1V とすれば， 出力電圧(コンデンサの両端の電圧)は 15.9/22.5 = 0.71 V くらいになります．

演習3

図16の回路で，

• 2kHz で振幅が 1mA の電流が流れているとき，入力電圧の振幅は何ボルトか?
• 2kHz で振幅が 1V の電圧を加えたとき，出力電圧の振幅は何ボルトか?
• 500Hz で振幅が 1mA の電流が流れているとき，入力電圧の振幅は何ボルトか?
• 500Hz で振幅が 1V の電圧を加えたとき，出力電圧の振幅は何ボルトか?

回答例3

Rを使って，先ほどの関数を少し変えて， 周波数や抵抗などの値を変更しやすくします．

function(f=1e3, R=15.9e3, C=0.01e-6)
{
    # f: 周波数(Hz)
    # R: 抵抗値(ohm)
    # C: 容量(F)

    T <- 1/f                # 周期
    t <- seq(0, 2*T, len=201)       # 2周期分
    Im <- 1e-3                      # 電流の振幅
    VRm <- Im * R                   # 抵抗の両端の電圧の振幅
    XC <- 1 / (2 * pi * f * C)      # コンデンサのリアクタンス
    VCm <- Im * XC                  # コンデンサの両端の電圧の振幅
    cat("VRm=", VRm, "\n", sep="")  # 表示
    cat("XC=", XC, "\n", sep="")
    cat("VCm=", VCm, "\n", sep="")
    i <- Im * sin(2 * pi * f * t)   # 電流の瞬時値
    vR <- VRm * sin(2 * pi * f * t) # 抵抗の両端の電圧の瞬時値
    vC <- -VCm * cos(2 * pi * f * t)# コンデンサの両端の電圧の瞬時値
    vi <- vR + vC                   # 入力電圧の瞬時値
    Vim <- max(vi)                  # 入力電圧の振幅
    cat("Vim=", Vim, "\n", sep="")
    cat("Vo/Vim=", VCm/Vim, "\n", sep="")   # ゲイン
    par(mfrow=c(2, 1))              # グラフを2行1列に並べて描く
    plot(t, i, type="l")            # 電流の波形
    matplot(t, cbind(vR, vC, vi), type="l", lty=1, col=2:4,
        ylab="vR, vC, vi")          # 電圧の波形
}

function のかっこの中に書かれている変数は， 仮引数で，関数を実行する際に変更することができます． = の後ろにある値は，引数が指定されなかった場合のデフォルトの値となります． この関数を ac42 という名前で作成したとすると， ac42(R=22e3) のように仮引数の名前(一部でよい)と値を指定してやれば， その引数だけ値を変更できます． 指定しなかった引数は，デフォルトの値が使用されます．

> ac42(2e3)
VRm=15.9
XC=7957.747
VCm=7.957747
Vim=17.77499
Vo/Vim=0.4476934
> windows()         # もう一つグラフウィンドウを開く    
> ac42(500)
VRm=15.9
XC=31830.99
VCm=31.83099
Vim=35.57143
Vo/Vim=0.894847

関数 windows() (Linuxの場合は X11())を使えば， グラフウィンドウを追加で開くことができ， 複数のグラフを比較できます．

4.1 SPICEによるシミュレーション

図19に，SPICEによるシミュレーションを示します．

図 19: ローパスフィルタのシミュレーション

CircuitMakerでは，私が不慣れなせいかもしれませんが， 2点間の電圧のグラフを表示する方法がないようです． VcVs1 を使って，2点間の電位差を対グラウンドの電圧に変換しています． また念のため，回路を流れる電流は，IcVs1 で電圧に変換して取り出しています． この係数として10000を指定しているので，1mA が 10V としてグラフに表示されます．

波形をみると，2周期目でほぼ定常状態になっているようです． 電流の波形(D)と抵抗の両端の電圧の波形(B)は位相が合っています． コンデンサの両端の波形(C)は，電流に比べて位相が 90^o 遅れています． 入力電圧の波形(A)は，電流に比べて位相が 45^o 遅れているようです． 振幅の関係は，Rで計算したものと同じになっています．

4.2 波形を使わずに振幅を求める

このように，瞬時値を使えば，この回路の入力電圧や出力電圧を求めることができますが， とても手間がかかります． 一度，三角関数の性質を使って，各部の電圧や電流の振幅や位相の関係を検討しておけば，簡単に計算することができるようになります． ただし，この節で説明した方法で実際の計算をすることもありません．

電流を基準にとり，その初期位相を0とすれば，電流の瞬時値は，

$$\omega$$ (27)

で表すことができます． 抵抗の両端の電圧の瞬時値は，オームの法則から，

$$\omega$$ (28)

となります． コンデンサの両端の電圧の瞬時値は，式(3)に式(27)を代入して，

$${\frac{{1}}{{C}}} \int {\frac{{I_m}}{{C}}} \int \omega {\frac{{I_m}}{{\omega C}}} \omega$$ (29)

となります． これらから，入力電圧の瞬時値は，

$$\omega {\frac{{I_m}}{{\omega C}}} \omega \omega \omega$$ (30)

となります． この式は，周波数が同じ正弦波と余弦波(符号がマイナスですが)を足し合わせたものであり， 結果はさまざまな位相をとる正弦波になります．

ここで，正弦波と余弦波を任意の比率で足し合わせた波形がどうなるかを 見てみましょう．瞬時値 v を式で表すと，

$$\theta \theta$$ (31)

となります． a, b は負であっても構いません．

a を x 軸に，b を y 軸にとると，図20のような長方形ができます． 対角線OCの長さは，三平方の定理より，

$$\sqrt{{a^2 + b^2}}$$ (32)

となります． OCと x 軸のなす角度 $\phi$ は，

$$\phi {\frac{{b}}{{a}}}$$ (33)

です．

図 20: 正弦波，余弦波の振幅と合成波の振幅

これらを使って a, b を表すと，

$$\sqrt{{a^2 + b^2}} \phi$$ a =

$$\sqrt{{a^2 + b^2}} \phi$$ b =

となりますから， 式(31)は，

$$\theta \theta$$ v =

$$\sqrt{{a^2 + b^2}} \phi \theta \sqrt{{a^2 + b^2}} \phi \theta$$ =

$$\sqrt{{a^2 + b^2}} \theta \phi$$ =

$$\sqrt{{a^2 + b^2}} \Bigl( \theta {\frac{{b}}{{a}}} \Bigr)$$ = (34)

となり， 合成波の振幅は $\sqrt{{a^2+b^2}}$， 初期位相は tan^-1(b/a) であることがわかります．

ここで，正弦波と余弦波を任意の比率で足し合わせた波形がどうなるかを， Rで確かめてみましょう． プログラムは少々長くなりますが，以下の通りです．

function (a=1, b=1)
{
    # a: 正弦波の振幅
    # b: 余弦波の振幅

    th <- seq(-2*pi, 2*pi, len=201)         # 位相
    s <- a * sin(th)                        # 正弦波波形
    c <- b * cos(th)                        # 余弦波波形
    z <- s + c                              # 合成波波形
    cat("max(z)=", max(z), "\n", sep="")    # 合成波の振幅(波形から)
    Vm <- sqrt(a^2 + b^2)                   # 合成波の振幅(解析的)
    cat("Vm=", Vm, "\n", sep="")
    phi <- atan2(b, a)*180/pi               # 合成波の初期位相
    cat("phi=", phi, "\n", sep="")

    par(mfrow=c(2, 1))                      # グラフを2行1列で描く

    # 波形
    matplot(th*180/pi, cbind(s, c, z), type="l", lty=1, col=2:4,
        xaxs="i", xaxt="n",
        xlab="Phase (deg)", ylab="Instantaneous value")
    axis(1, at=seq(-360, 360, by=90), lab=FALSE, tck=1, col="gray")
    axis(1, at=seq(-360, 360, by=90))       # 目盛を自分の好みで描く
    box()                                   # 周りが灰色になるのでワクを描き直す
    abline(h=0)                             # 水平線を引く
    abline(v=-phi, col=4)                   # 合成波の立ち上がり点
    arrow(0, -Vm, -phi, -Vm, col=4)
    text(-phi/2, -0.9*Vm, format(round(phi, 1)), col=4)

    # ベクトル図
    m <- max(abs(c(a, b)))                  # ベクトル図のスケールを決める
    lim <- m * c(-1.2, 1.2)
    par.org <- par(pty="s")                 # 正方形のグラフを描く
    plot(0, 0, type="n", xlim=lim, ylim=lim,
        xlab="x", ylab="y")                 # スケールの設定のみ
    abline(h=0)                             # 水平線
    abline(v=0)                             # 垂直線
    arrow(0, 0, a, 0, col=2)                # 正弦波のベクトル表示
    text(a, -0.1*m, format(signif(a, 3)), col=2)
    arrow(0, 0, 0, b, col=3)                # 余弦波のベクトル表示
    text(-0.1*m, b, format(signif(b, 3)), col=3, adj=1)
    arrow(0, 0, a, b, col=4)                # 合成波のベクトル表示
    text(a*1.1, b*1.1, format(signif(Vm, 3)), col=4)
    par(par.org)                            # グラフパラメータを元に戻す
}

このプログラムでは，いくつか標準ではない関数が使われています． この関数を使うために，メニューの ファイル $\to$ Rコードのソース...を使用して，http://ayumi.cava.jp/audio/elec_win.r を読み込んでください(図21)．

図 21: Rコードの読み込み

このようにして読み込まれた関数は， Rを終了するときに作業スペース(image)を保存しておけば， 次回からは自動的に使えるようになります(図22)．

図 22: 作業スペースの保存

位相を求めるのに，atan() ではなく atan2(y, x) を使っていますが， こちらを使うと角度を - $\pi$ から $\pi$ の範囲で求められます． グラフを描くときに xaxt="n" とすると，x 軸の目盛は自動で描かれません． axis() で自分の好きなように目盛を付けられます． abline() で，垂直線(v=)や水平線(h=)， あるいは任意の y = a + bx という直線を描くことができます． text() で，グラフ上に文字列を描けます． format() は，表示用に適切に丸めた文字列を返します． ふつう，format() は複数の数値の表示桁数を揃えるのに使い， 桁数が少ない場合は，先頭に空白が付加されます． par(pty="s") で，グラフを実際に描く領域が正方形になります．

この関数の名前を ac43 とすると，

> ac43(1.732, 1)
max(z)=1.999517
Vm=1.999956
phi=30.00073

のようにして使います． 実行結果を図23に示します．

図 23: 正弦波，余弦波の合成

さて，この結果を使うと，式(30)を次のように書き換えることができます．

$$\omega \omega$$ v_i =

$$\sqrt{{V_{Rm}^2+V_{Cm}^2}} \omega \phi$$ =

$$\omega \phi$$ =

$$\sqrt{{V_{Rm}^2+V_{Cm}^2}} \sqrt{{(I_m R)^2 + (\frac{I_m}{\omega C})^2}} \sqrt{{R^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}}}$$ V_im =

$$\phi {\frac{{V_{Cm}}}{{V_{Rm}}}} {\frac{{\frac{I_m}{\omega C}}}{{I_m R}}} {\frac{{1}}{{\omega C R}}}$$ =

これを図で表すと，図24のようになります (図中の電圧は，必ずしも最大値でなくても(たとえば実効値)よいので， _m を付けていません)．

図 24: 合成波の振幅と位相は，ベクトル図で求められる

電流を基準にしたとき，入力電圧は $\phi$ だけ進んでいます． この場合，$\phi$ の符号は負になるので，入力電圧は電流よりも位相が遅れています．

求めたかったのは，入力と出力の関係なので， 入力電圧を基準にすると，電流は $\phi$ だけ遅れており(実際は $\phi$ が負なので進んでおり)，出力の位相は電流よりも 90^o 遅れます． つまり，図24の矢印の向きは，それぞれの電圧の初期位相を表していることになります．

ここで基準を入力電圧にします． つまり，V_i を右向きにします． すると図25のようになります．

図 25: 入力電圧を基準にする

この図からわかるように， 抵抗の両端の電圧は，入力電圧より $\phi_{1}^{}$ = tan^-1(V_C/V_R) だけ進んでおり， コンデンサの両端の電圧は，入力電圧より $\phi_{2}^{}$ = tan^-1(V_R/V_C) 遅れています． この回路のゲイン A は，入力に対する出力の大きさで定義され，

$${\frac{{V_o}}{{V_i}}} {\frac{{V_C}}{{V_i}}}$$ (35)

です． これらを，抵抗値や容量，周波数によって表すと，

$${\frac{{V_C}}{{V_i}}}$$ A =

$${\frac{{I_m X_C}}{{I_m \sqrt{R^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}}}}}$$ =

$${\frac{{\frac{1}{\omega C}}}{{\sqrt{R^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}}}}}$$ = (36)

$$\phi_{2}^{} {\frac{{V_R}}{{V_C}}}$$ =

$${\frac{{I_m R}}{{I_m X_C}}}$$ =

$${\frac{{R}}{{1/\omega C}}}$$ =

$$\omega$$ = (37)

ここでは，$\phi_{2}^{}$ は遅れを表していることに注意してください． また，入力電圧 V_i を流れる電流 I で割ったものは， この回路の抵抗(正確にはインピーダンス)であり，

$${\frac{{V_i}}{{I}}} {\frac{{I_m \sqrt{R^2 + X_C^2}}}{{I_m}}} \sqrt{{R^2 + X_C^2}}$$ (38)

となります．

この回路では，流れている電流がどこでも同じため， 各部の電圧の比率は，そのまま各部のインピーダンスの比率になります(図25の右側)． つまり，回路を流れる電流を仮定しなくても， インピーダンスの比率を求め，ベクトル図を作図できます． そして，

$${\frac{{X_C}}{{Z}}} {\frac{{X_C}}{{\sqrt{R^2+X_C^2}}}}$$ (39)

で，入力電圧に対する出力電圧を求めることができます．

これで，このローパスフィルタのゲインと位相の周波数特性を描くことができます． Rで描いてみましょう．

function ()
{
    R <- 15.9e3         # 抵抗値
    C <- 0.01e-6        # 容量

    f <- dec(10, 100e3, 30)     # 周波数(対数で，10倍あたり30点ずつ)
    w <- 2 * pi * f             # 角周波数(omega と書くのは大変なので w を使用)
    XC <- 1/(w * C)             # コンデンサのリアクタンス
    A <- XC / sqrt(R^2 + XC^2)  # ゲイン
    phi <- atan(-w * C * R)     # 位相(進みが正)

    par(mfrow=c(2, 1))
    semilogplot(f, dB(A), type="l", col="red",
        xlab="Frequency (Hz)", ylab="Gain (dB)")
    semilogplot(f, phi*180/pi, type="l", col="red",
        xlab="Frequency (Hz)", ylab="Phase (deg)")
}

dec(from, to, n) は，周波数などとして使う等比数列を生成する関数で， from から to まで，10倍ごとに n 点きざみの等比数列を生成します． semilogplot は，横軸が対数で，縦軸が通常のグラフを描く関数です． dB(x) は， 20 log₁₀(x) を返す関数です．

4.3 任意の位相の2つの波形を加算する

前節の回路では，互いに 90^o 位相の異なる波形を足し合わせました． その結果の波形の振幅は，それぞれの波形の振幅が縦と横の長さである長方形の 対角線の長さであり， 位相差は，対角線とそれぞれの辺とでなす角で表されます． この節では，任意の初期位相を持つ2つの波形の加算が， 同様に平行四辺形の対角線で表されることを示します．

振幅が V₁ 初期位相が $\phi_{1}^{}$ の正弦波 v₁ と， 振幅が V₂ 初期位相が $\phi_{2}^{}$ の正弦波 v₂ を加えた結果を v₃ とします． この v₃ の振幅 V₃ と初期位相 $\phi_{3}^{}$ を求めます．

$$\omega \phi_{1}^{}$$ v₁ = (40)

$$\omega \phi_{2}^{}$$ v₂ = (41)

$$\omega \phi_{3}^{}$$ v₃ = (42)

v₃ = v₁ + v₂ より，

$$\omega \phi_{1}^{} \omega \phi_{2}^{}$$ v₃ =

$$\phi_{1}^{} \omega \phi_{1}^{} \omega$$ =

$$\phi_{2}^{} \omega \phi_{2}^{} \omega$$

$$\phi_{1}^{} \phi_{2}^{} \omega \phi_{1}^{} \phi_{2}^{} \omega$$ = (43)

一方，

$$\omega \phi_{3}^{} \phi_{3}^{} \omega \phi_{3}^{} \omega$$ (44)

より，係数を比較して，

$$\phi_{3}^{} \phi_{1}^{} \phi_{2}^{}$$ = (45)

$$\phi_{3}^{} \phi_{1}^{} \phi_{2}^{}$$ = (46)

図26より明らかなように， V₃ の大きさと初期位相は，V₁, V₂ をベクトルと見立てて加えたもので表せます．

図 26: 2つの正弦波の加算

つまり，任意の時刻の瞬時値を加え合わせた波形の振幅と位相は， 2つの波形の振幅と初期位相の情報だけで決まり， ベクトルとみて加え合わせたものが， 合成された波形の振幅と初期位相になります． 時間とともに変化する部分($\omega$t)は，影響しません．

具体的に振幅と位相を求めると，図より，

$$\sqrt{{(V_1 \cos \phi_1 + V_2 \cos \phi_2)^2 + (V_1 \sin \phi_1 + V_2 \sin \phi_2)^2}}$$ V₃ =

$$\sqrt{{V_1^2 \cos^2 \phi_1 + 2 V_1 V_2 \cos \phi_1 \cos \phi_2 + ... ...V_1^2 \sin^2 \phi_1 + 2 V_1 V_2 \sin \phi_1 \sin \phi_2 + V_2^2 \sin^2 \phi_2}}$$ =

$$\sqrt{{V_1^2 + V_2^2 + 2 V_1 V_2 (\cos \phi_1 \cos \phi_2 + \sin \phi_1 \sin \phi_2)}}$$ =

$$\sqrt{{V_1^2 + V_2^2 + 2 V_1 V_2 \cos(\phi_1 - \phi_2)}}$$ = (47)

$$\phi_{3}^{} {\frac{{V_1 \sin \phi_1 + V_2 \sin \phi_2}}{{V_1 \cos \phi_1 + V_2 \cos \phi_2}}}$$ = (48)

となります．

4.4 ベクトルによる計算例

先に進む前に，ここで示したベクトルによる計算をいくつかやってみましょう．

4.4.1 抵抗とコンデンサの並列回路

次のような，抵抗とコンデンサが並列に接続された回路に， 400Hz, 5V の交流電圧を加えたときに流れる電流を求めます．

図 27: 抵抗とコンデンサを並列に接続した回路に流れる電流

この回路の場合，各素子にかかっている電圧は，すべて等しく v ですので， この位相を基準にします． 抵抗を流れる電流 i_R の位相は電圧の位相と同じで，大きさは，

$${\frac{{V}}{{R}}} {\frac{{5}}{{1000}}}$$ (49)

です． コンデンサのリアクタンス X_C は，

$${\frac{{1}}{{2 \pi f C}}} {\frac{{1}}{{6.28 \cdot 400 \cdot 0.22\times 10^{-6}}}}$$ (50)

ですから，コンデンサを流れる電流の大きさは，

$${\frac{{V}}{{X_C}}} {\frac{{5}}{{1810}}}$$ (51)

コンデンサを流れる電流は，電圧より位相が 90^o 進んでいるので， ベクトル図は28のようになります．

図 28: 抵抗とコンデンサを並列に接続した回路のベクトル図

流れる電流の大きさ I は，

$$\sqrt{{I_R^2 + I_C^2}} \sqrt{{5^2 + 2.76^2}} \sqrt{{32.6}}$$ (52)

であり， 電流の位相は電圧より

$$\phi {\frac{{I_C}}{{I_R}}} {\frac{{2.76}}{{5}}}$$ (53)

進んでいます．

4.4.2 負帰還の微分補償

図29は，負帰還の微分補償で使われる回路です． R₁ は帰還抵抗で，これに並列に C を入れることにより， 高域の負帰還量が増えます． この回路の入力(アンプの出力)と出力(アンプの入力部に帰還される信号)の関係を調べましょう． あらかじめ断っておきますが，この解析は大変複雑になります． ベクトル図による方法は，この程度の回路で，もはや使い物にならないことがわかるでしょう．

図 29: 負帰還の微分補償

この回路は複雑なので，部分部分に分けて解析していきます． まず，R₁ の両端の電圧を v₁ として，R₁ と C の並列接続に注目します． v₁ の位相を基準とすると，R₁ を流れる電流 i_R1 の位相は v₁ と同じです． コンデンサを流れる電流の位相は v₁ より 90^o 進んでいます． したがってベクトル図は，図30の左のようになります．

図 30: 微分補償のベクトル図

ここまでの関係から，

$${\frac{{1}}{{2 \pi f C}}}$$ X_C =

$${\frac{{V_1}}{{X_C}}}$$ I_C =

$${\frac{{V_1}}{{R_1}}}$$ I_R1 =

$$\sqrt{{I_{R_1}^2 + I_C^2}} \sqrt{{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2}}}$$ I =

となります．

出力 v_o は，i が R₂ を流れて生じる電圧なので， その位相は i と同じで，v₁ よりも $\phi_{1}^{}$ 進んでいます． 入力電圧 v_i は，v₁ と v_o を加えた物ですから， そのベクトル図は，図30の右のようになります． 出力の位相は，入力よりも ($\phi_{o}^{}$ - $\phi_{i}^{}$) だけ進んでいます．

V_o = IR₂ (54)

$$\sqrt{{V_o^2 + V_1^2 + 2 V_o V_1 \cos \phi_o}}$$ V_i = (55)

$$\phi_{i}^{} {\frac{{V_o \sin \phi_o}}{{V_1 + V_o \cos \phi_o}}}$$ = (56)

最後の2つの式は，式(47)と式(48)を使っています．

ゲインを求めてみましょう． 式(54)より，

$$\sqrt{{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2}}}$$ V_o =

$${\frac{{V_o}}{{R_2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2}}}}}$$ V₁ =

これを式(55)に代入して，

V_i = $$\sqrt{{V_o^2 + \frac{V_o^2}{R_2^2(\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2})} + \frac{2 V_o^2}{R_2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2}}} \cos \phi_o}}$$

図30より，

cos$$\phi_{o}^{}$$ = $${\frac{{I_{R_1}}}{{I}}}$$ = $${\frac{{\frac{V_1}{R_1}}}{{V_1 \sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2}}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{R_1\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X_C^2}}}}}$$

なので，

$$\sqrt{{V_o^2 + \frac{V_o^2}{R_2^2(\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{X_C^2})} + \frac{2 V_o^2}{R_1 R_2(\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{X_C^2})}}}$$ V_i =

$$\sqrt{{1 + \frac{1}{R_2^2(\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{X_C^2})} + \frac{2}{R_1 R_2(\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{X_C^2})}}}$$ =

$$\sqrt{{\frac{R_1 R_2^2 (\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{X_C^2})+R_1+2R_2}{R_1 R_2^2(\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{X_C^2})}}}$$ =

$$\sqrt{{\frac{\omega^2R_1^2R_2^2C^2+(R_1+R_2)^2}{\omega^2R_1^2R_2^2C^2+R_2^2}}}$$ =

$$\sqrt{{\frac{\omega^2R_1^2R_2^2C^2+R_2^2}{\omega^2R_1^2R_2^2C^2+(R_1+R_2)^2}}}$$ V_o =

$${\frac{{R_2}}{{R_1+R_2}}} \sqrt{{\frac{\omega^2R_1^2C^2+1}{\omega^2(R_1//R_2)^2C^2+1}}}$$ = (57)

となります． もっとうまい整理のしかたがあるとは思いますが， このように任意の周波数に対する応答を求めようとするのは，大変な作業になります．